Calcolo Esempi

$\int y^{2} {(1 + y)}^{2} d y$

Passaggio 1

Espandi $y^{2} {(1 + y)}^{2}$ .

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(1 + y)}^{2}$ come $(1 + y) (1 + y)$ .

$\int y^{2} ((1 + y) (1 + y)) d y$

Passaggio 1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int y^{2} (1 (1 + y) + y (1 + y)) d y$

Passaggio 1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int y^{2} (1 \cdot 1 + 1 y + y (1 + y)) d y$

Passaggio 1.4

Applica la proprietà distributiva.

$\int y^{2} (1 \cdot 1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y) d y$

Passaggio 1.5

Applica la proprietà distributiva.

$\int y^{2} (1 \cdot 1 + 1 y) + y^{2} (y \cdot 1 + y \cdot y) d y$

Passaggio 1.6

Applica la proprietà distributiva.

$\int y^{2} (1 \cdot 1) + y^{2} (1 y) + y^{2} (y \cdot 1 + y \cdot y) d y$

Passaggio 1.7

Applica la proprietà distributiva.

$\int y^{2} (1 \cdot 1) + y^{2} (1 y) + y^{2} (y \cdot 1) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Passaggio 1.8

Sposta $y^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + y^{2} (1 y) + y^{2} (y \cdot 1) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Passaggio 1.9

Riordina $y^{2}$ e $1$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + 1 \cdot y^{2} y + y^{2} (y \cdot 1) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Passaggio 1.10

Riordina $y$ e $1$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + 1 \cdot y^{2} y + y^{2} (1 \cdot y) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Passaggio 1.11

Riordina $y^{2}$ e $1$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + 1 \cdot y^{2} y + 1 \cdot y^{2} \cdot y + y^{2} (y \cdot y) d y$

Passaggio 1.12

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\int 1 y^{2} + 1 y^{2} y + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Passaggio 1.13

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$\int y^{2} + 1 y^{2} y + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Passaggio 1.14

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$\int y^{2} + y^{2} y + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Passaggio 1.15

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int y^{2} + y^{2} y^{1} + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Passaggio 1.16

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int y^{2} + y^{2 + 1} + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Passaggio 1.17

Somma $2$ e $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Passaggio 1.18

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Passaggio 1.19

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{2} y^{1} + y^{2} y \cdot y d y$

Passaggio 1.20

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int y^{2} + y^{3} + y^{2 + 1} + y^{2} y \cdot y d y$

Passaggio 1.21

Somma $2$ e $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{2} y \cdot y d y$

Passaggio 1.22

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{2} y^{1} y d y$

Passaggio 1.23

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{2 + 1} y d y$

Passaggio 1.24

Somma $2$ e $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{3} y d y$

Passaggio 1.25

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{3} y^{1} d y$

Passaggio 1.26

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{3 + 1} d y$

Passaggio 1.27

Somma $3$ e $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{4} d y$

Passaggio 1.28

Somma $y^{3}$ e $y^{3}$ .

$\int y^{2} + 2 y^{3} + y^{4} d y$

Passaggio 1.29

Riordina $2 y^{3}$ e $y^{4}$ .

$\int y^{2} + y^{4} + 2 y^{3} d y$

Passaggio 1.30

Sposta $y^{2}$ .

$\int y^{4} + 2 y^{3} + y^{2} d y$

$\int y^{4} + 2 y^{3} + y^{2} d y$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y^{4} d y + \int 2 y^{3} d y + \int y^{2} d y$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y^{4}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + \int 2 y^{3} d y + \int y^{2} d y$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 \int y^{3} d y + \int y^{2} d y$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y^{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \int y^{2} d y$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

$\frac{1}{4}$ e $y^{4}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 (\frac{y^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

$\frac{y^{5}}{5} + \frac{y^{4}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 7.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{5} y^{5} + \frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

$\frac{1}{5} y^{5} + \frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$