Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{r}{4 + r^{2}} d r$

Passaggio 1

Sia $u = 4 + r^{2}$ . Allora $d u = 2 r d r$ , quindi $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 4 + r^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d r}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $4 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 + r^{2}$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $4$ rispetto a $r$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Passaggio 1.1.5

Somma $0$ e $2 r$ .

$2 r$

Passaggio 1.2

Sostituisci $r$ con il limite inferiore in $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $4$ e $0$ .

$u_{lower} = 4$

Passaggio 1.4

Sostituisci $r$ con il limite superiore in $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + {(\frac{π}{2})}^{2}$

Passaggio 1.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{π}{2}$ .

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 1.5.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}}$

Passaggio 5

Calcola $\ln (| u |)$ per $4 + \frac{π^{2}}{4}$ e per $4$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 4 + \frac{π^{2}}{4} |) - \ln (| 4 |))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$

Passaggio 6.2

$\frac{1}{2}$ e $\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})}{2}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.1

$4 + \frac{π^{2}}{4}$ corrisponde approssimativamente a $6.4674011$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{\ln (\frac{4 + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Passaggio 7.1.2

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Passaggio 7.1.3

$4$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Passaggio 7.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Passaggio 7.1.5

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Passaggio 7.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $4$ è $4$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{4})}{2}$

Passaggio 7.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4})}{2}$

Passaggio 7.4

Moltiplica $\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Passaggio 7.4.1

Moltiplica $\frac{16 + π^{2}}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4 \cdot 4})}{2}$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

Forma decimale:

$0.24023999 \dots$

Passaggio 9