Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- \cos (x)} \sin (x) d x$

Passaggio 1

Sia $u = - \cos (x)$ . Allora $d u = \sin (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = - \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $- \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- - \sin (x)$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica.

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Passaggio 1.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \sin (x)$

Passaggio 1.1.4.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = - \cos (x)$ .

$u_{lower} = - \cos (0)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = - \cos (x)$ .

$u_{upper} = - \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$u_{upper} = - 0$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{- 1}^{0} e^{u} d u$

Passaggio 2

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{u}]_{- 1}^{0}$

Passaggio 3

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.1

Calcola $e^{u}$ per $0$ e per $- 1$ .

$(e^{0}) - e^{- 1}$

Passaggio 3.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1 - e^{- 1}$

Passaggio 4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{e}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$1 - \frac{1}{e}$

Forma decimale:

$0.63212055 \dots$