Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (t)}{\sqrt{1 + \sin^{2} (t)}} d t$

Passaggio 1

Sia $u = \sin (t)$ . Allora $d u = \cos (t) d t$ , quindi $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \sin (t)$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\sin (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\sin (t)$ rispetto a $t$ è $\cos (t)$ .

$\cos (t)$

Passaggio 1.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = \sin (t)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Passaggio 1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = \sin (t)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u$

Passaggio 2

Sia $u = \tan (t_{1})$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d u = \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t_{1})$ è positivo.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.1

Semplifica $\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}$ .

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Passaggio 3.1.1

Rimetti in ordine i termini.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t_{1}) + 1}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 3.1.2

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 3.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $\sec (t_{1})$ .

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $\sec (t_{1})$ da $\sec^{2} (t_{1})$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

Passaggio 4

L'integrale di $\sec (t_{1})$ rispetto a $t_{1}$ è $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ .

$\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Passaggio 5

Calcola $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ per $\frac{π}{4}$ e per $0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\sec (\frac{π}{4})$ è $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Passaggio 6.2

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Passaggio 6.3

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Passaggio 6.4

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Passaggio 6.5

Somma $1$ e $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 6.6

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.1.1.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Passaggio 7.1.1.2

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.1.1.2.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Passaggio 7.1.1.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Passaggio 7.1.1.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Passaggio 7.1.1.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |}{| 1 |})$

Passaggio 7.1.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Passaggio 7.1.1.2.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 7.1.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Passaggio 7.1.1.2.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |}{| 1 |})$

Passaggio 7.1.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Passaggio 7.1.1.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.1.1.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Passaggio 7.1.1.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Passaggio 7.1.1.2.6.5

Calcola l'esponente.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Passaggio 7.1.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Passaggio 7.1.1.3.2

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| 1 |})$

Passaggio 7.1.2

$\sqrt{2} + 1$ corrisponde approssimativamente a $2.41421356$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| 1 |})$

Passaggio 7.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{1})$

Passaggio 7.3

Dividi $\sqrt{2} + 1$ per $1$ .

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Forma decimale:

$0.88137358 \dots$