Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x) d x$

Passaggio 1

Sia $u = \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Passaggio 1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{0} - u^{2} d u$

Passaggio 2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{1}^{0} u^{2} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0})$

Passaggio 4

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0})$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.1

Calcola $\frac{u^{3}}{3}$ per $0$ e per $1$ .

$- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})$

Passaggio 5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})$

Passaggio 5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3})$

Passaggio 5.2.2.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- (0 - \frac{1^{3}}{3})$

Passaggio 5.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- (0 - \frac{1}{3})$

Passaggio 5.2.4

Sottrai $\frac{1}{3}$ da $0$ .

$- - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3})$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{3}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{3}$

Forma decimale:

$0.\overline{3}$