Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos (2 x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \cos (2 x)$ .

$x (\frac{1}{2} \sin (2 x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$x \frac{\sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Passaggio 2.2

$x$ e $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (2 x) d x)$

Passaggio 4

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 4.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 4.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 4.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 4.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 4.5.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = π$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 5

$\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \sin (u) d u)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{4} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Passaggio 8

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Calcola $\frac{x \sin (2 x)}{2}$ per $\frac{π}{2}$ e per $0$ .

$(\frac{\frac{π}{2} \sin (2 \frac{π}{2})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Passaggio 9.2

Calcola $- \cos (u)$ per $π$ e per $0$ .

$(\frac{\frac{π}{2} \sin (2 \frac{π}{2})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

$2$ e $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\frac{π}{2} \sin (\frac{2 π}{2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{π}{2} \sin (\frac{2 π}{2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.2.2

Dividi $π$ per $1$ .

$\frac{\frac{π}{2} \sin (π)}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.3

$\frac{π}{2}$ e $\sin (π)$ .

$\frac{\frac{π \sin (π)}{2}}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.4

Riscrivi $\frac{\frac{π \sin (π)}{2}}{2}$ come un prodotto.

$\frac{π \sin (π)}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.5

Moltiplica $\frac{π \sin (π)}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π \sin (π)}{2 \cdot 2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.7

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{0 \sin (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.8

Moltiplica $0$ per $\sin (0)$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{0}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.9

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.9.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{2 (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.9.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{0}{1} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.9.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.10

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} + 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.11

Somma $\frac{π \sin (π)}{4}$ e $0$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.12

Per scrivere $- \frac{1}{4} (- \cos (π) + \cos (0))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{1}{4} (- \cos (π) + \cos (0)) \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 9.3.13

$- \frac{1}{4} (- \cos (π) + \cos (0))$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} + \frac{- \frac{1}{4} (- \cos (π) + \cos (0)) \cdot 4}{4}$

Passaggio 9.3.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \sin (π) - \frac{1}{4} (- \cos (π) + \cos (0)) \cdot 4}{4}$

Passaggio 9.3.15

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{π \sin (π) - 4 (\frac{1}{4}) (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Passaggio 9.3.16

$- 4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{π \sin (π) + \frac{- 4}{4} (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Passaggio 9.3.17

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.17.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$\frac{π \sin (π) + \frac{4 \cdot - 1}{4} (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Passaggio 9.3.17.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.17.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{π \sin (π) + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Passaggio 9.3.17.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{π \sin (π) + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Passaggio 9.3.17.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π \sin (π) + \frac{- 1}{1} (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Passaggio 9.3.17.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{π \sin (π) - (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Passaggio 10

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{π \sin (π) - (- \cos (π) + 1)}{4}$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{π \sin (0) - (- \cos (π) + 1)}{4}$

Passaggio 11.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{π \cdot 0 - (- \cos (π) + 1)}{4}$

Passaggio 11.3

Moltiplica $π$ per $0$ .

$\frac{0 - (- \cos (π) + 1)}{4}$

Passaggio 11.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{0 - (- - \cos (0) + 1)}{4}$

Passaggio 11.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{0 - (- (- 1 \cdot 1) + 1)}{4}$

Passaggio 11.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0 - (- - 1 + 1)}{4}$

Passaggio 11.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{0 - (1 + 1)}{4}$

Passaggio 11.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 2}{4}$

Passaggio 11.9

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{0 - 2}{4}$

Passaggio 11.10

Riduci l'espressione $\frac{0 - 2}{4}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.10.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$\frac{2 (0) - 2}{4}$

Passaggio 11.10.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1}{4}$

Passaggio 11.10.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1$ .

$\frac{2 \cdot (0 - 1)}{4}$

Passaggio 11.10.4

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 (2)}$

Passaggio 11.10.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.10.6

Riscrivi l'espressione.

$\frac{0 - 1}{2}$

Passaggio 11.11

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{- 1}{2}$

Passaggio 11.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimale:

$- 0.5$