Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (x^{2}) d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2}$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Passaggio 1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x^{2}$ .

$u_{upper} = {(\frac{π}{2})}^{2}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{π}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 1.5.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{4}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{4}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (u) d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π^{2}}{4}}$

Passaggio 5

Calcola $- \cos (u)$ per $\frac{π^{2}}{4}$ e per $0$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π^{2}}{4}) + \cos (0))$

Passaggio 6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π^{2}}{4}) + 1)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $\cos (\frac{π^{2}}{4})$ .

$\frac{1}{2} (- - 0.78121189 + 1)$

Passaggio 7.2

Moltiplica $- 1$ per $- 0.78121189$ .

$\frac{1}{2} (0.78121189 + 1)$

Passaggio 7.3

Somma $0.78121189$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1.78121189$

Passaggio 7.4

$\frac{1}{2}$ e $1.78121189$ .

$\frac{1.78121189}{2}$

Passaggio 7.5

Dividi $1.78121189$ per $2$ .

$0.89060594$