Calcolo Esempi

$\int \frac{x + 4}{x^{2} + 5 x - 6} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $x^{2} + 5 x - 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $5$ .

$- 1, 6$

Passaggio 1.1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{x + 4}{(x - 1) (x + 6)}$

Passaggio 1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Passaggio 1.1.3

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 6}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x - 1) (x + 6)$ .

$\frac{(x + 4) (x - 1) (x + 6)}{(x - 1) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 6)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

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Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 4) (x - 1) (x + 6)}{(x - 1) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 6)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x + 4) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 1) (x + 6)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.1.6

Elimina il fattore comune di $x + 6$ .

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Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 4) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 1) (x + 6)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.1.6.2

Dividi $x + 4$ per $1$ .

$x + 4 = \frac{(A) (x - 1) (x + 6)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.1.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.7.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$x + 4 = \frac{A (x - 1) (x + 6)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.1.7.1.2

Dividi $(A) (x + 6)$ per $1$ .

$x + 4 = (A) (x + 6) + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$x + 4 = A x + A \cdot 6 + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta $6$ alla sinistra di $A$ .

$x + 4 = A x + 6 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.1.7.4

Elimina il fattore comune di $x + 6$ .

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Passaggio 1.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$x + 4 = A x + 6 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.1.7.4.2

Dividi $(B) (x - 1)$ per $1$ .

$x + 4 = A x + 6 A + (B) (x - 1)$

Passaggio 1.1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$x + 4 = A x + 6 A + B x + B \cdot - 1$

Passaggio 1.1.7.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $B$ .

$x + 4 = A x + 6 A + B x - 1 \cdot B$

Passaggio 1.1.7.7

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$x + 4 = A x + 6 A + B x - B$

Passaggio 1.1.8

Sposta $6 A$ .

$x + 4 = A x + B x + 6 A - B$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$4 = 6 A - 1 B$

Passaggio 1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + B$

$4 = 6 A - 1 B$

$1 = A + B$

$4 = 6 A - 1 B$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = A + B$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$4 = 6 A - 1 B$

Passaggio 1.3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 1 - B$

$4 = 6 A - 1 B$

$A = 1 - B$

$4 = 6 A - 1 B$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $4 = 6 A - 1 B$ con $1 - B$ .

$4 = 6 (1 - B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Semplifica $6 (1 - B) - 1 B$ .

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Passaggio 1.3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 = 6 \cdot 1 + 6 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $6$ per $1$ .

$4 = 6 + 6 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$4 = 6 - 6 B - 1 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.4

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$4 = 6 - 6 B - B$

$A = 1 - B$

$4 = 6 - 6 B - B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Sottrai $B$ da $- 6 B$ .

$4 = 6 - 7 B$

$A = 1 - B$

$4 = 6 - 7 B$

$A = 1 - B$

$4 = 6 - 7 B$

$A = 1 - B$

$4 = 6 - 7 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $B$ in $4 = 6 - 7 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $6 - 7 B = 4$ .

$6 - 7 B = 4$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.3.3.2.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 7 B = 4 - 6$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3.2.2

Sottrai $6$ da $4$ .

$- 7 B = - 2$

$A = 1 - B$

$- 7 B = - 2$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3.3

Dividi per $- 7$ ciascun termine in $- 7 B = - 2$ e semplifica.

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Passaggio 1.3.3.3.1

Dividi per $- 7$ ciascun termine in $- 7 B = - 2$ .

$\frac{- 7 B}{- 7} = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 7 B}{- 7} = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{2}{7}$ in ogni equazione.

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Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 1 - B$ con $\frac{2}{7}$ .

$A = 1 - (\frac{2}{7})$

$B = \frac{2}{7}$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.3.4.2.1

Semplifica $1 - (\frac{2}{7})$ .

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Passaggio 1.3.4.2.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$A = \frac{7}{7} - \frac{2}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Passaggio 1.3.4.2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A = \frac{7 - 2}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Passaggio 1.3.4.2.1.3

Sottrai $2$ da $7$ .

$A = \frac{5}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{5}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{5}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{5}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Passaggio 1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{5}{7}, B = \frac{2}{7}$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 6}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{5}{7}}{x - 1} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 6}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{5}{7} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 6}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $\frac{5}{7}$ per $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{5}{7 (x - 1)} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 6}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{5}{7 (x - 1)} + \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{x + 6}$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica $\frac{2}{7}$ per $\frac{1}{x + 6}$ .

$\int \frac{5}{7 (x - 1)} + \frac{2}{7 (x + 6)} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{5}{7 (x - 1)} d x + \int \frac{2}{7 (x + 6)} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{5}{7}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{5}{7}$ fuori dall'integrale.

$\frac{5}{7} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{2}{7 (x + 6)} d x$

Passaggio 4

Sia $u_{1} = x - 1$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u_{1} = x - 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{5}{7} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 6)} d x$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{5}{7} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{7 (x + 6)} d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{2}{7}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{7}$ fuori dall'integrale.

$\frac{5}{7} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} \int \frac{1}{x + 6} d x$

Passaggio 7

Sia $u_{2} = x + 6$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 7.1

Sia $u_{2} = x + 6$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

Passaggio 7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 7.1.4

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 7.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{5}{7} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{5}{7} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

$\frac{5}{7} \ln (| u_{1} |) + \frac{2}{7} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 10

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 10.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 1$ .

$\frac{5}{7} \ln (| x - 1 |) + \frac{2}{7} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 10.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 6$ .

$\frac{5}{7} \ln (| x - 1 |) + \frac{2}{7} \ln (| x + 6 |) + C$