Calcolo Esempi

$\int \frac{x + 2}{x^{2} + 4 x + 5} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} + 4 x + 5$ . Allora $d u = (2 x + 4) d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = (x + 2) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} + 4 x + 5$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} + 4 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 5]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$2 x + 4 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 4 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $2 x + 4$ e $0$ .

$2 x + 4$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 4 x + 5$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 x + 5 |) + C$