Calcolo Esempi

$\int x^{3} \sin (x^{2}) d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2}$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int u \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$\frac{1}{2}$ e $u$ .

$\int \frac{u}{2} \sin (u) d u$

Passaggio 2.2

$\frac{u}{2}$ e $\sin (u)$ .

$\int \frac{u \sin (u)}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int u \sin (u) d u$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = u$ e $dv = \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\int \cos (u) d u$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

Passaggio 7

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

Passaggio 8

Riscrivi $\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ come $\frac{1}{2} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ .

$\frac{1}{2} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2}) + \sin (x^{2})) + C$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2})) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

Passaggio 10.2

Moltiplica $\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2}))$ .

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Passaggio 10.2.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} \cos (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

Passaggio 10.2.2

$\cos (x^{2})$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

Passaggio 10.3

$\frac{1}{2}$ e $\sin (x^{2})$ .

$- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2} + C$

Passaggio 10.4

Riordina i fattori in $- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (x^{2})}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2} + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$- \frac{1}{2} x^{2} \cos (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$