Calcolo Esempi

$\int x^{4} e^{- 2 x} d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{4}$ e $d v = e^{- 2 x}$ .

$x^{4} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (4 x^{3}) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$x^{4} (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (4 x^{3}) d x$

Passaggio 2.2

$x^{4}$ e $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (4 x^{3}) d x$

Passaggio 3

Poiché $- \frac{1}{2} \cdot 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- \frac{1}{2} \cdot 4$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x)$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - (- 4 (\frac{1}{2}) \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x)$

Passaggio 4.2

$- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x)$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x)$

Passaggio 4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x)$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x)$

Passaggio 4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{1} \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x)$

Passaggio 4.3.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - (- 2 \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x)$

Passaggio 4.4

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{3}$ e $d v = e^{- 2 x}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (x^{3} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (3 x^{2}) d x)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (x^{3} (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (3 x^{2}) d x)$

Passaggio 6.2

$x^{3}$ e $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (3 x^{2}) d x)$

Passaggio 6.3

$e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} (3 x^{2}) d x)$

Passaggio 6.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \int - 3 \frac{e^{- 2 x}}{2} x^{2} d x)$

Passaggio 6.5

$- 3$ e $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \int \frac{- 3 e^{- 2 x}}{2} x^{2} d x)$

Passaggio 6.6

$\frac{- 3 e^{- 2 x}}{2}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \int \frac{- 3 e^{- 2 x} x^{2}}{2} d x)$

Passaggio 6.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{3 e^{- 2 x} x^{2}}{2} d x)$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{3 e^{- 2 x} x^{2}}{2} d x)$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{3 e^{- 2 x} x^{2}}{2} d x)$

Passaggio 8.2

Moltiplica $\int \frac{3 e^{- 2 x} x^{2}}{2} d x$ per $1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{3 e^{- 2 x} x^{2}}{2} d x)$

Passaggio 9

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} \int e^{- 2 x} x^{2} d x)$

Passaggio 10

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{2}$ e $d v = e^{- 2 x}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (x^{2} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x))$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

$e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (x^{2} (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x))$

Passaggio 11.2

$x^{2}$ e $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x))$

Passaggio 11.3

$e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} (2 x) d x))$

Passaggio 11.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int - 2 \frac{e^{- 2 x}}{2} x d x))$

Passaggio 11.5

$- 2$ e $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int \frac{- 2 e^{- 2 x}}{2} x d x))$

Passaggio 11.6

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{2}$ e $x$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int \frac{- 2 e^{- 2 x} x}{2} d x))$

Passaggio 11.7

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.1

Scomponi $2$ da $- 2 e^{- 2 x} x$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int \frac{2 (- e^{- 2 x} x)}{2} d x))$

Passaggio 11.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int \frac{2 (- e^{- 2 x} x)}{2 (1)} d x))$

Passaggio 11.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int \frac{2 (- e^{- 2 x} x)}{2 \cdot 1} d x))$

Passaggio 11.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int \frac{- e^{- 2 x} x}{1} d x))$

Passaggio 11.7.2.4

Dividi $- e^{- 2 x} x$ per $1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int - e^{- 2 x} x d x))$

Passaggio 12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - - \int e^{- 2 x} x d x))$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + 1 \int e^{- 2 x} x d x))$

Passaggio 13.2

Moltiplica $\int e^{- 2 x} x d x$ per $1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + \int e^{- 2 x} x d x))$

Passaggio 14

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- 2 x}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x))$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

$e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x))$

Passaggio 15.2

$x$ e $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x))$

Passaggio 15.3

$e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x))$

Passaggio 16

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x))$

Passaggio 17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x))$

Passaggio 17.2

Moltiplica $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ per $1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x))$

Passaggio 18

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x))$

Passaggio 19

Sia $u = - 2 x$ . Allora $d u = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sia $u = - 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.1

Differenzia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 19.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 19.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 19.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 19.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u))$

Passaggio 20

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u))$

Passaggio 20.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u))$

Passaggio 21

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)))$

Passaggio 22

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))))$

Passaggio 23

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u))$

Passaggio 23.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Passaggio 24

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)))$

Passaggio 25

Semplifica.

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Passaggio 25.1

Riscrivi $- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)))$ come $- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) + C$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) + C$

Passaggio 25.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.2.1

Per scrivere $2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Passaggio 25.2.2

$2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8})$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + \frac{2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 25.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x^{4} e^{- 2 x} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 25.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{- x^{4} e^{- 2 x} + 4 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8})}{2} + C$

Passaggio 26

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x$ .

$\frac{- x^{4} e^{- 2 x} + 4 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{- 2 x}}{8})}{2} + C$

Passaggio 27

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} (- x^{4} e^{- 2 x} + 4 (- \frac{1}{2} x^{3} e^{- 2 x} - \frac{3}{4} x^{2} e^{- 2 x} - \frac{3}{4} x e^{- 2 x} - \frac{3}{8} e^{- 2 x})) + C$