Calcolo Esempi

$\int x^{4} e^{- x} d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{4}$ e $d v = e^{- x}$ .

$x^{4} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (4 x^{3}) d x$

Passaggio 2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) - \int - 4 e^{- x} x^{3} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$x^{4} (- e^{- x}) - (- 4 \int e^{- x} x^{3} d x)$

Passaggio 4

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 \int e^{- x} x^{3} d x$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{3}$ e $d v = e^{- x}$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (3 x^{2}) d x)$

Passaggio 6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) - \int - 3 e^{- x} x^{2} d x)$

Passaggio 7

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) - (- 3 \int e^{- x} x^{2} d x))$

Passaggio 8

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 \int e^{- x} x^{2} d x)$

Passaggio 9

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{2}$ e $d v = e^{- x}$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x))$

Passaggio 10

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x))$

Passaggio 11

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)))$

Passaggio 12

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x))$

Passaggio 13

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)))$

Passaggio 14

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)))$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)))$

Passaggio 15.2

Moltiplica $\int e^{- x} d x$ per $1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)))$

Passaggio 16

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 16.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 16.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 16.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 16.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)))$

Passaggio 17

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)))$

Passaggio 18

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))))$

Passaggio 19

Riscrivi $x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))))$ come $- x^{4} e^{- x} + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}))) + C$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}))) + C$

Passaggio 20

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}))) + C$