Calcolo Esempi

\int x^{2} sin (4 x) d x

$\int x^{2} \sin (4 x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula

$\int u d v = u v - \int v d u$ , dove

$u = x^{2}$ e

$d v = \sin (4 x)$ .

$x^{2} (- \frac{1}{4} \cos (4 x)) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) (2 x) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\cos (4 x)$ e

$\frac{1}{4}$ .

$x^{2} (- \frac{\cos (4 x)}{4}) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) (2 x) d x$

Passaggio 2.2

$x^{2}$ e

$\frac{\cos (4 x)}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) (2 x) d x$

Passaggio 3

Poiché

$- \frac{1}{4} \cdot 2$ è costante rispetto a

$x$ , sposta

$- \frac{1}{4} \cdot 2$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (- \frac{1}{4} \cdot 2 \int \cos (4 x) (x) d x)$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica

$2$ per

$- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (- 2 (\frac{1}{4}) \int \cos (4 x) (x) d x)$

Passaggio 4.2

$- 2$ e

$\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{- 2}{4} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di

$- 2$ e

$4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scomponi

$2$ da

$- 2$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{2 (- 1)}{4} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Passaggio 4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi

$2$ da

$4$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Passaggio 4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{- 1}{2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Passaggio 4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (- \frac{1}{2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Passaggio 4.5

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

Passaggio 4.6

Moltiplica

$\frac{1}{2}$ per

$1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} \int \cos (4 x) (x) d x$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula

$\int u d v = u v - \int v d u$ , dove

$u = x$ e

$d v = \cos (4 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (x (\frac{1}{4} \sin (4 x)) - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\frac{1}{4}$ e

$\sin (4 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (x \frac{\sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x)$

Passaggio 6.2

$x$ e

$\frac{\sin (4 x)}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x)$

Passaggio 6.3

$\frac{1}{4}$ e

$\sin (4 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \int \frac{\sin (4 x)}{4} d x)$

Passaggio 7

Poiché

$\frac{1}{4}$ è costante rispetto a

$x$ , sposta

$\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - (\frac{1}{4} \int \sin (4 x) d x))$

Passaggio 8

Sia

$u = 4 x$ . Allora

$d u = 4 d x$ , quindi

$\frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando

$u$ e

$d$

$u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia

$u = 4 x$ . Trova

$\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia

$4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 8.1.2

Poiché

$4$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$4 x$ rispetto a

$x$ è

$4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica

$4$ per

$1$ .

$4$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema utilizzando

$u$ e

$d u$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} \int \sin (u) \frac{1}{4} d u)$

Passaggio 9

$\sin (u)$ e

$\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{\sin (u)}{4} d u)$

Passaggio 10

Poiché

$\frac{1}{4}$ è costante rispetto a

$u$ , sposta

$\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica

$\frac{1}{4}$ per

$\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int \sin (u) d u)$

Passaggio 11.2

Moltiplica

$4$ per

$4$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} \int \sin (u) d u)$

Passaggio 12

L'integrale di

$\sin (u)$ rispetto a

$u$ è

$- \cos (u)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} (- \cos (u) + C))$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Riscrivi

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} (- \cos (u) + C))$ come

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) + C$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) + C$

Passaggio 13.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Per scrivere

$\frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) \cdot \frac{4}{4} + C$

Passaggio 13.2.2

$\frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})$ e

$\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{\frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) \cdot 4}{4} + C$

Passaggio 13.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) \cdot 4}{4} + C$

Passaggio 13.2.4

$4$ e

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{4}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

Passaggio 13.2.5

Elimina il fattore comune di

$4$ e

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.5.1

Scomponi

$2$ da

$4$ .

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{2 \cdot 2}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

Passaggio 13.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.5.2.1

Scomponi

$2$ da

$2$ .

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

Passaggio 13.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

Passaggio 13.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{2}{1} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

Passaggio 13.2.5.2.4

Dividi

$2$ per

$1$ .

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$4 x$ .

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (4 x)}{16})}{4} + C$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 \frac{x \sin (4 x)}{4} + 2 \frac{\cos (4 x)}{16}}{4} + C$

Passaggio 15.2

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Scomponi

$2$ da

$4$ .

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 \frac{x \sin (4 x)}{2 (2)} + 2 \frac{\cos (4 x)}{16}}{4} + C$

Passaggio 15.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 \frac{x \sin (4 x)}{2 \cdot 2} + 2 \frac{\cos (4 x)}{16}}{4} + C$

Passaggio 15.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{x \sin (4 x)}{2} + 2 \frac{\cos (4 x)}{16}}{4} + C$

Passaggio 15.3

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Scomponi

$2$ da

$16$ .

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{x \sin (4 x)}{2} + 2 \frac{\cos (4 x)}{2 (8)}}{4} + C$

Passaggio 15.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{x \sin (4 x)}{2} + 2 \frac{\cos (4 x)}{2 \cdot 8}}{4} + C$

Passaggio 15.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{x \sin (4 x)}{2} + \frac{\cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Passaggio 16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Per scrivere

$- x^{2} \cos (4 x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{x \sin (4 x)}{2} - x^{2} \cos (4 x) \cdot \frac{8}{8} + \frac{\cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Passaggio 16.1.2

$- x^{2} \cos (4 x)$ e

$\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{x \sin (4 x)}{2} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8}{8} + \frac{\cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Passaggio 16.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{x \sin (4 x)}{2} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Passaggio 16.1.4

Per scrivere

$\frac{x \sin (4 x)}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{x \sin (4 x)}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Passaggio 16.1.5

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di

$8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.5.1

Moltiplica

$\frac{x \sin (4 x)}{2}$ per

$\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{x \sin (4 x) \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Passaggio 16.1.5.2

Moltiplica

$2$ per

$4$ .

$\frac{\frac{x \sin (4 x) \cdot 4}{8} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Passaggio 16.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{x \sin (4 x) \cdot 4 - x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Passaggio 16.1.7

Riscrivi

$\frac{x \sin (4 x) \cdot 4 - x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.7.1

Sposta

$4$ alla sinistra di

$x \sin (4 x)$ .

$\frac{\frac{4 \cdot (x \sin (4 x)) - x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Passaggio 16.1.7.2

Moltiplica

$8$ per

$- 1$ .

$\frac{\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

Passaggio 16.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8} \cdot \frac{1}{4} + C$

Passaggio 16.3

Moltiplica

$\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.1

Moltiplica

$\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8}$ per

$\frac{1}{4}$ .

$\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8 \cdot 4} + C$

Passaggio 16.3.2

Moltiplica

$8$ per

$4$ .

$\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{32} + C$

Passaggio 16.4

Riordina i termini.

$\frac{1}{32} (4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)) + C$