Calcolo Esempi

$\int x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ è positivo.

$\int \sin^{3} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Passaggio 2.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$\int \sin^{3} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 2.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Passaggio 2.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 2.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\int \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 3

Metti in evidenza $\sin^{2} (t)$ .

$\int \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 4

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\sin^{2} (t)$ come $1 - \cos^{2} (t)$ .

$\int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 5

Sia $u = \cos (t)$ . Allora $d u = - \sin (t) d t$ , quindi $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = \cos (t)$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Passaggio 5.1.2

La derivata di $\cos (t)$ rispetto a $t$ è $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Passaggio 6

Moltiplica $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $- 1 u^{2}$ come $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 7.2

Moltiplica $u^{2}$ per $u^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Passaggio 7.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

Passaggio 8

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Passaggio 12.2

Semplifica.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Passaggio 13

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 13.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (t)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + \frac{1}{5} \cos^{5} (t) + C$

Passaggio 13.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (x)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + \frac{1}{5} \cos^{5} (\arcsin (x)) + C$