Calcolo Esempi

$\int \sqrt{3 - 2 x - x^{2}} d x$

Passaggio 1

Completa il quadrato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sposta $3$ .

$- 2 x - x^{2} + 3$

Passaggio 1.1.2

Riordina $- 2 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} - 2 x + 3$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = - 2$

$c = 3$

Passaggio 1.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.4.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.2.2

Riscrivi $- 1 \cdot - 1$ come $- - 1$ .

$d = - - 1$

Passaggio 1.4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$d = 1$

Passaggio 1.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 3 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$e = 3 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = 3 - \frac{4}{- 4}$

Passaggio 1.5.2.1.3

Dividi $4$ per $- 4$ .

$e = 3 - - 1$

Passaggio 1.5.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e = 3 + 1$

Passaggio 1.5.2.2

Somma $3$ e $1$ .

$e = 4$

Passaggio 1.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- {(x + 1)}^{2} + 4$ .

$\int \sqrt{- {(x + 1)}^{2} + 4} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = x + 1$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = x + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 4} d u_{1}$

Passaggio 3

Sia $u_{1} = 2 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d u_{1} = 2 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ è positivo.

$\int \sqrt{- {(2 \sin (t))}^{2} + 4} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica $\sqrt{- {(2 \sin (t))}^{2} + 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{- (2^{2} \sin^{2} (t)) + 4} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int \sqrt{- (4 \sin^{2} (t)) + 4} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.1.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\int \sqrt{- 4 \sin^{2} (t) + 4} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.2

Riordina $- 4 \sin^{2} (t)$ e $4$ .

$\int \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $4$ da $4$ .

$\int \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.4

Scomponi $4$ da $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.5

Scomponi $4$ da $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.6

Applica l'identità pitagorica.

$\int \sqrt{4 \cos^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.7

Riscrivi $4 \cos^{2} (t)$ come ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int 2 \cos (t) (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int 4 \cos (t) \cos (t) d t$

Passaggio 4.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int 4 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Passaggio 4.2.3

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int 4 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Passaggio 4.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 4 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 4.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\int 4 \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 5

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 6

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$4 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 8.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 8.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$2 (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$2 (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Passaggio 11

Sia $u_{2} = 2 t$ . Allora $d u_{2} = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sia $u_{2} = 2 t$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 11.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 11.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 11.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Passaggio 12

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 13

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 14

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$2 (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Passaggio 15

Semplifica.

$2 (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Passaggio 16

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{u_{1}}{2})$ .

$2 (\arcsin (\frac{u_{1}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Passaggio 16.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 t$ .

$2 (\arcsin (\frac{u_{1}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Passaggio 16.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 1$ .

$2 (\arcsin (\frac{x + 1}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Passaggio 16.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{u_{1}}{2})$ .

$2 (\arcsin (\frac{x + 1}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{u_{1}}{2}))) + C$

Passaggio 16.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 1$ .

$2 (\arcsin (\frac{x + 1}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}))) + C$

Passaggio 17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}))$ .

$2 (\arcsin (\frac{x + 1}{2}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}))}{2}) + C$

Passaggio 17.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}) + 2 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}))}{2} + C$

Passaggio 17.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.1

Elimina il fattore comune.

$2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}) + 2 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}))}{2} + C$

Passaggio 17.3.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}) + \sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2})) + C$

Passaggio 18

Riordina i termini.

$2 \arcsin (\frac{1}{2} (x + 1)) + \sin (2 \arcsin (\frac{1}{2} (x + 1))) + C$