Calcolo Esempi

$\int \frac{x}{x - 2} d x$

Passaggio 1

Dividi $x$ per $x - 2$ .

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Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x$

$0$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$1$
	$x$	-	$2$		$x$	+	$0$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$x$	-	$2$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$2$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x - 2$

				$1$
$x$	-	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$2$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$x$	-	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$2$
					+	$2$

Passaggio 1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 1 + \frac{2}{x - 2} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$x + C + \int \frac{2}{x - 2} d x$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$x + C + 2 \int \frac{1}{x - 2} d x$

Passaggio 5

Sia $u = x - 2$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = x - 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$x + C + 2 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$x + C + 2 (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

$x + 2 \ln (| u |) + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 2$ .

$x + 2 \ln (| x - 2 |) + C$