Calcolo Esempi

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 2 \cot (\frac{x}{3}) d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cot (\frac{x}{3}) d x$

Passaggio 2

Sia $u = \frac{x}{3}$ . Allora $d u = \frac{1}{3} d x$ , quindi $3 d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = \frac{x}{3}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{3}$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$u_{lower} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Passaggio 2.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Passaggio 2.6

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{3}$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) (1 \cdot 3) d u$

Passaggio 3.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) \cdot 3 d u$

Passaggio 3.3

Sposta $3$ alla sinistra di $\cot (u)$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 3 \cot (u) d u$

Passaggio 4

Poiché $3$ è costante rispetto a $u$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$2 (3 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) d u)$

Passaggio 5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) d u$

Passaggio 6

L'integrale di $\cot (u)$ rispetto a $u$ è $\ln (| \sin (u) |)$ .

$6 (\ln (| \sin (u) |)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}})$

Passaggio 7

Calcola $\ln (| \sin (u) |)$ per $\frac{π}{3}$ e per $\frac{π}{6}$ .

$6 (\ln (| \sin (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |))$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 (\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |))$

Passaggio 8.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$6 (\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \frac{1}{2} |))$

Passaggio 8.3

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{\sqrt{3}}{2} |}{| \frac{1}{2} |})$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.8660254$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$6 \ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{| \frac{1}{2} |})$

Passaggio 9.2

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$6 \ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$6 \ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2)$

Passaggio 9.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.4.1

Elimina il fattore comune.

$6 \ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2)$

Passaggio 9.4.2

Riscrivi l'espressione.

$6 \ln (\sqrt{3})$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$6 \ln (\sqrt{3})$

Forma decimale:

$3.29583686 \dots$