Calcolo Esempi

$\int_{\frac{π}{3}}^{2 π} 4 \cos^{3} (x) \sin (x) d x$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int_{\frac{π}{3}}^{2 π} \cos^{3} (x) \sin (x) d x$

Passaggio 2

Sia $u = \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 π)$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$u_{upper} = \cos (0)$

Passaggio 2.5.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$4 \int_{\frac{1}{2}}^{1} - u^{3} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (- \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{3} d u)$

Passaggio 4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{3} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- 4 (\frac{1}{4} u^{4}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

Passaggio 6

$\frac{1}{4}$ e $u^{4}$ .

$- 4 (\frac{u^{4}}{4}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $\frac{u^{4}}{4}$ per $1$ e per $\frac{1}{2}$ .

$- 4 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4})$

Passaggio 7.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 4 (\frac{1}{4} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4})$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 4 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{4}}{4}$

Passaggio 8.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{1 - \frac{1^{4}}{2^{4}}}{4}$

Passaggio 8.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 4 \frac{1 - \frac{1}{2^{4}}}{4}$

Passaggio 8.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$- 4 \frac{1 - \frac{1}{16}}{4}$

Passaggio 8.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- 4 \frac{\frac{16}{16} - \frac{1}{16}}{4}$

Passaggio 8.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 4 \frac{\frac{16 - 1}{16}}{4}$

Passaggio 8.5

Sottrai $1$ da $16$ .

$- 4 \frac{\frac{15}{16}}{4}$

Passaggio 8.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 8.6.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{\frac{15}{16}}{4}$

Passaggio 8.6.2

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot - 1 \frac{\frac{15}{16}}{4}$

Passaggio 8.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{15}{16}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{15}{16}$

Forma decimale:

$- 0.9375$