Calcolo Esempi

$\int \frac{\ln (x)}{x \sqrt{1 + \ln (x)}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 + \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 + \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Passaggio 1.1.4

Somma $0$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{\ln (e^{u - 1})}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1

Semplifica.

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Passaggio 2.1.1

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $u - 1$ dall'esponente.

$\int \frac{(u - 1) \ln (e)}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.1.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\int \frac{(u - 1) \cdot 1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $u - 1$ per $1$ .

$\int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 2.2.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 2.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Espandi $(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.2

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.6

Sottrai $1$ da $2$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + \ln (x)$ .

$\frac{2}{3} {(1 + \ln (x))}^{\frac{3}{2}} - 2 {(1 + \ln (x))}^{\frac{1}{2}} + C$