Calcolo Esempi

$\int \frac{\ln (7 x)}{x} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \ln (7 x)$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \ln (7 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\ln (7 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (7 x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 7 x$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $7 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $7 x$ .

$\frac{1}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{7 x} (7 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.1.3.2.1

$7$ e $\frac{1}{7 x}$ .

$\frac{7}{7 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $7$ .

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Passaggio 1.1.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7}{7 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int u_{2} d u_{2}$

Passaggio 2

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\ln (7 x)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (7 x) + C$