Calcolo Esempi

$\int e^{- x} \sin (4 x) d x$

Passaggio 1

Riordina $e^{- x}$ e $\sin (4 x)$ .

$\int \sin (4 x) e^{- x} d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \sin (4 x)$ e $d v = e^{- x}$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (4 \cos (4 x)) d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1 \cdot 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1 \cdot 4$ fuori dall'integrale.

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - (- 1 \cdot 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x)$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - (- 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x)$

Passaggio 4.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x$

Passaggio 4.3

Riordina $e^{- x}$ e $\cos (4 x)$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 \int \cos (4 x) e^{- x} d x$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \cos (4 x)$ e $d v = e^{- x}$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- 4 \sin (4 x)) d x)$

Passaggio 6

Poiché $- - 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- - 4$ fuori dall'integrale.

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - (- - 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x))$

Passaggio 7

Semplifica moltiplicando.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - (4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x))$

Passaggio 7.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x})) + 4 (- 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

Passaggio 7.4

Moltiplica.

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Passaggio 7.4.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x})) + 4 (- 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x})) - 16 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x$

Passaggio 8

Risolvendo $\int e^{- x} \sin (4 x) d x$ , troviamo che $\int e^{- x} \sin (4 x) d x$ = $\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x}))}{17}$ .

$\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x}))}{17} + C$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$ come $\frac{- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$ .

$\frac{- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.2.1.1

Scomponi $e^{- x}$ da $- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}$ .

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Passaggio 9.2.1.1.1

Scomponi $e^{- x}$ da $- \sin (4 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x)) - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$

Passaggio 9.2.1.1.2

Scomponi $e^{- x}$ da $- 4 \cos (4 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x)) + e^{- x} (- 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Passaggio 9.2.1.1.3

Scomponi $e^{- x}$ da $e^{- x} (- \sin (4 x)) + e^{- x} (- 4 \cos (4 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x) - 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Passaggio 9.2.1.2

Scomponi $- 1$ da $- \sin (4 x) - 4 \cos (4 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.2.1

Scomponi $- 1$ da $- \sin (4 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x)) - 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Passaggio 9.2.1.2.2

Scomponi $- 1$ da $- 4 \cos (4 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x)) - (4 \cos (4 x)))}{17} + C$

Passaggio 9.2.1.2.3

Scomponi $- 1$ da $- (\sin (4 x)) - (4 \cos (4 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x)))}{17} + C$

$\frac{e^{- x} \cdot - 1 (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Passaggio 9.2.1.3

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{- e^{- x} (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Passaggio 9.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{17} e^{- x} (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x)) + C$