Calcolo Esempi

$\int \cos^{7} (x) d x$

Passaggio 1

Metti in evidenza $\cos^{6} (x)$ .

$\int \cos^{6} (x) \cos (x) d x$

Passaggio 2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\int {\cos (x)}^{2 (3)} \cos (x) d x$

Passaggio 2.2

Riscrivi ${\cos (x)}^{2 (3)}$ come un elevamento a potenza.

$\int {(\cos^{2} (x))}^{3} \cos (x) d x$

$\int {(\cos^{2} (x))}^{3} \cos (x) d x$

Passaggio 3

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\cos^{2} (x)$ come $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \sin^{2} (x))}^{3} \cos (x) d x$

Passaggio 4

Sia $u = \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

$\cos (x)$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int {(1 - u^{2})}^{3} d u$

$\int {(1 - u^{2})}^{3} d u$

Passaggio 5

Espandi ${(1 - u^{2})}^{3}$ .

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Passaggio 5.1

Usa il teorema binomiale.

$\int 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Passaggio 5.2

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int 1 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Passaggio 5.3

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Passaggio 5.4

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Passaggio 5.5

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) + {(- u^{2})}^{3} d u$

Passaggio 5.6

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} {(- u^{2})}^{2} d u$

Passaggio 5.7

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Passaggio 5.8

Sposta $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Passaggio 5.9

Sposta le parentesi.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Passaggio 5.10

Sposta le parentesi.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Passaggio 5.11

Sposta $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

Passaggio 5.12

Sposta le parentesi.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

Passaggio 5.13

Sposta le parentesi.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.14

Sposta $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.15

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\int 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.16

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\int 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.17

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\int 1 + 3 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.18

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\int 1 + 3 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.19

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.20

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.21

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} - 3 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.22

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.23

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.24

Somma $2$ e $2$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.25

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.26

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.27

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{2} u^{2}) u^{2} d u$

Passaggio 5.28

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2 + 2} u^{2} d u$

Passaggio 5.29

Somma $2$ e $2$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4} u^{2} d u$

Passaggio 5.30

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{4} u^{2}) d u$

Passaggio 5.31

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4 + 2} d u$

Passaggio 5.32

Somma $4$ e $2$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{6} d u$

Passaggio 5.33

Riordina $1$ e $- 3 u^{2}$ .

$\int - 3 u^{2} + 1 + 3 u^{4} - u^{6} d u$

Passaggio 5.34

Sposta $1$ .

$\int - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 - u^{6} d u$

Passaggio 5.35

Riordina $- 3 u^{2}$ e $3 u^{4}$ .

$\int 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 - u^{6} d u$

Passaggio 5.36

Sposta $1$ .

$\int 3 u^{4} - 3 u^{2} - u^{6} + 1 d u$

Passaggio 5.37

Sposta $- 3 u^{2}$ .

$\int 3 u^{4} - u^{6} - 3 u^{2} + 1 d u$

Passaggio 5.38

Riordina $3 u^{4}$ e $- u^{6}$ .

$\int - u^{6} + 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 d u$

$\int - u^{6} + 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 d u$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{6}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

Passaggio 9

Poiché $3$ è costante rispetto a $u$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 \int u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

Passaggio 11

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 \int u^{2} d u + \int d u$

Passaggio 12

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

Passaggio 13

Applica la regola costante.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

$\frac{1}{7}$ e $u^{7}$ .

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Passaggio 14.1.2

$\frac{1}{5}$ e $u^{5}$ .

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Passaggio 14.1.3

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

Passaggio 14.2

Semplifica.

$- \frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{5}}{5} - u^{3} + u + C$

$- \frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{5}}{5} - u^{3} + u + C$

Passaggio 15

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin^{7} (x)}{7} + \frac{3 \sin^{5} (x)}{5} - \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$

Passaggio 16

Riordina i termini.

$- \frac{1}{7} \sin^{7} (x) + \frac{3}{5} \sin^{5} (x) - \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$