Calcolo Esempi

$\int \cot^{4} (x) d x$

Passaggio 1

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\int {\cot (x)}^{2 (2)} d x$

Passaggio 1.2

Riscrivi ${\cot (x)}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

$\int {(\cot^{2} (x))}^{2} d x$

Passaggio 2

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\cot^{2} (x)$ come $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \csc^{2} (x))}^{2} d x$

Passaggio 3

Semplifica.

$\int 1 - 2 \csc^{2} (x) + \csc^{4} (x) d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d x + \int - 2 \csc^{2} (x) d x + \int \csc^{4} (x) d x$

Passaggio 5

Applica la regola costante.

$x + C + \int - 2 \csc^{2} (x) d x + \int \csc^{4} (x) d x$

Passaggio 6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$x + C - 2 \int \csc^{2} (x) d x + \int \csc^{4} (x) d x$

Passaggio 7

Poiché la derivata di $- \cot (x)$ è $\csc^{2} (x)$ , l'integrale di $\csc^{2} (x)$ è $- \cot (x)$ .

$x + C - 2 (- \cot (x) + C) + \int \csc^{4} (x) d x$

Passaggio 8

Applica la formula di riduzione.

$x + C - 2 (- \cot (x) + C) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2}{3} \int \csc^{2} (x) d x$

Passaggio 9

Poiché la derivata di $- \cot (x)$ è $\csc^{2} (x)$ , l'integrale di $\csc^{2} (x)$ è $- \cot (x)$ .

$x + C - 2 (- \cot (x) + C) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (x) + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

$x + 2 \cot (x) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (x)) + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

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Passaggio 10.2.1

$\frac{2}{3}$ e $\cot (x)$ .

$x + 2 \cot (x) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} - \frac{2 \cot (x)}{3} + C$

Passaggio 10.2.2

Per scrivere $2 \cot (x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + 2 \cot (x) \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 \cot (x)}{3} + C$

Passaggio 10.2.3

$2 \cot (x)$ e $\frac{3}{3}$ .

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2 \cot (x) \cdot 3}{3} - \frac{2 \cot (x)}{3} + C$

Passaggio 10.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2 \cot (x) \cdot 3 - 2 \cot (x)}{3} + C$

Passaggio 10.2.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{6 \cot (x) - 2 \cot (x)}{3} + C$

Passaggio 10.2.6

Sottrai $2 \cot (x)$ da $6 \cot (x)$ .

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{4 \cot (x)}{3} + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$x - \frac{1}{3} \cot (x) \csc^{2} (x) + \frac{4}{3} \cot (x) + C$