Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{9 - x^{2}}} d x d x$

Passaggio 1

Sia $x = 3 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 3 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ è positivo.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Passaggio 2.1.1.3

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $9$ da $9$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $9$ da $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $9$ da $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $9 \cos^{2} (t)$ come ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))} (3 \cos (t)) d t d x$

Passaggio 2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $3 \cos (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $3 \cos (t)$ da ${(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))$ .

$\int \frac{1}{3 \cos (t) ({(3 \sin (t))}^{2})} (3 \cos (t)) d t d x$

Passaggio 2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{3 \cos (t) {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t d x$

Passaggio 2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2}} d t d x$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} d t d x$

Passaggio 2.2.2.2

Applica la regola del prodotto a $3 (\sin (t))$ .

$\int \frac{1}{3^{2} \sin^{2} (t)} d t d x$

Passaggio 2.2.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{9 \sin^{2} (t)} d t d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{9}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Converti da $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ a $\csc^{2} (t)$ .

$\frac{1}{9} \int \csc^{2} (t) d t d x$

Passaggio 4.2

$d$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{d}{9} \int \csc^{2} (t) d t x$

Passaggio 4.3

$x$ e $\frac{d}{9}$ .

$\frac{x d}{9} \int \csc^{2} (t) d t$

Passaggio 5

Poiché la derivata di $- \cot (t)$ è $\csc^{2} (t)$ , l'integrale di $\csc^{2} (t)$ è $- \cot (t)$ .

$\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$ come $\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$ .

$\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

$\frac{1}{9}$ e $x$ .

$\frac{x}{9} d (- \cot (t)) + C$

Passaggio 6.2.2

$\frac{x}{9}$ e $d$ .

$\frac{x d}{9} (- \cot (t)) + C$

Passaggio 6.2.3

$\frac{x d}{9}$ e $\cot (t)$ .

$- \frac{x d \cot (t)}{9} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$- \frac{x d \cot (\arcsin (\frac{x}{3}))}{9} + C$

Passaggio 8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ e l'origine. Poi $\arcsin (\frac{x}{3})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ . Perciò, $\cot (\arcsin (\frac{x}{3}))$ è $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}$ .

$- \frac{x d \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}}{9} + C$

Passaggio 8.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{x d (\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Passaggio 8.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Passaggio 8.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \frac{x}{3}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Passaggio 8.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{x d (\sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Passaggio 8.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Passaggio 8.7

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Passaggio 8.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Passaggio 8.9

Moltiplica $\frac{3 + x}{3}$ per $\frac{3 - x}{3}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Passaggio 8.10

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Passaggio 8.11

Riscrivi $\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ come ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

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Passaggio 8.11.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(3 + x) (3 - x)$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Passaggio 8.11.2

Scomponi la potenza perfetta $3^{2}$ su $9$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Passaggio 8.11.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))} \frac{3}{x})}{9} + C$

Passaggio 8.12

Estrai i termini dal radicale.

$- \frac{x d (\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{3}{x})}{9} + C$

Passaggio 8.13

$\frac{1}{3}$ e $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

Passaggio 8.14

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 8.14.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

Passaggio 8.14.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{x d (\sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{1}{x})}{9} + C$

Passaggio 8.15

$\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ e $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x d \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Passaggio 8.16

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 8.16.1

$x$ e $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ .

$- \frac{d \frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Passaggio 8.16.2

$d$ e $\frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ .

$- \frac{\frac{d (x \sqrt{(3 + x) (3 - x)})}{x}}{9} + C$

Passaggio 8.17

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Passaggio 8.18

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 8.18.1

Riduci l'espressione $\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 8.18.1.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Passaggio 8.18.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{1}}{9} + C$

Passaggio 8.18.2

Dividi $d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ per $1$ .

$- \frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{9} + C$

$- \frac{1}{9} d \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + C$