Calcolo Esempi

$\int \tan^{3} (x) \sec^{4} (x) d x$

Passaggio 1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi $4$ come $2$ più $2$ .

$\int \tan^{3} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Passaggio 1.2

Riscrivi ${\sec (x)}^{2 + 2}$ come $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \tan^{3} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Passaggio 2

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\sec^{2} (x)$ come $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int \tan^{3} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

Passaggio 3

Sia $u = \tan (x)$ . Allora $d u = \sec^{2} (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u = \tan (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int u^{3} (1 + u^{2}) d u$

Passaggio 4

Moltiplica $u^{3} (1 + u^{2})$ .

$\int u^{3} \cdot 1 + u^{3} u^{2} d u$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $u^{3}$ per $1$ .

$\int u^{3} + u^{3} u^{2} d u$

Passaggio 5.2

Moltiplica $u^{3}$ per $u^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{3} + u^{3 + 2} d u$

Passaggio 5.2.2

Somma $3$ e $2$ .

$\int u^{3} + u^{5} d u$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{3} d u + \int u^{5} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int u^{5} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{5}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \frac{1}{6} u^{6} + C$

Passaggio 9

Semplifica.

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{1}{6} u^{6} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (x)$ .

$\frac{1}{4} \tan^{4} (x) + \frac{1}{6} \tan^{6} (x) + C$