Calcolo Esempi

$\int \tan^{3} (3 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = 3 x$ . Allora $d u_{1} = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = 3 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \tan^{3} (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}$

Passaggio 2

$\tan^{3} (u_{1})$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\tan^{3} (u_{1})}{3} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \tan^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 4

Metti in evidenza $\tan^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} \int \tan^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 5

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (u_{1})$ come $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} \int (- 1 + \sec^{2} (u_{1})) \tan (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{3} \int - 1 \tan (u_{1}) + \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{3} (\int - 1 \tan (u_{1}) d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (- \int \tan (u_{1}) d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 9

L'integrale di $\tan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| \sec (u_{1}) |)$ .

$\frac{1}{3} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 10

Sia $u_{2} = \sec (u_{1})$ . Allora $d u_{2} = \sec (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{\sec (u_{1}) \tan (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 10.1

Sia $u_{2} = \sec (u_{1})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 10.1.1

Differenzia $\sec (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})]$

Passaggio 10.1.2

La derivata di $\sec (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \int u_{2} d u_{2})$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (u_{1}) |) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

Passaggio 13

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 13.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

Passaggio 13.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sec (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (u_{1})) + C$

Passaggio 13.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (3 x)) + C$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

$\frac{1}{2}$ e $\sec^{2} (3 x)$ .

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{\sec^{2} (3 x)}{2}) + C$

Passaggio 14.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |)) + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (3 x)}{2} + C$

Passaggio 14.3

$\frac{1}{3}$ e $\ln (| \sec (3 x) |)$ .

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (3 x)}{2} + C$

Passaggio 14.4

Combina.

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{1 \sec^{2} (3 x)}{3 \cdot 2} + C$

Passaggio 14.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 14.5.1

Moltiplica $\sec^{2} (3 x)$ per $1$ .

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{3 \cdot 2} + C$

Passaggio 14.5.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{6} + C$

Passaggio 15

Riordina i termini.

$- \frac{1}{3} \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$