Calcolo Esempi

$\int \sqrt{16 - 9 x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = \frac{4}{3} \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \frac{4 \cos (t)}{3} d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{4 \cos (t)}{3}$ è positivo.

$\int \sqrt{16 - 9 {(\frac{4}{3} \sin (t))}^{2}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{16 - 9 {(\frac{4}{3} \sin (t))}^{2}}$ .

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Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1.1

$\frac{4}{3}$ e $\sin (t)$ .

$\int \sqrt{16 - 9 {(\frac{4 \sin (t)}{3})}^{2}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 2.1.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{4 \sin (t)}{3}$ .

$\int \sqrt{16 - 9 \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{3^{2}}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.2.2

Applica la regola del prodotto a $4 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{16 - 9 \frac{4^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\int \sqrt{16 - 9 \frac{16 \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int \sqrt{16 - 9 \frac{16 \sin^{2} (t)}{9}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.5

Elimina il fattore comune di $9$ .

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Passaggio 2.1.1.5.1

Scomponi $9$ da $- 9$ .

$\int \sqrt{16 + 9 (- 1) \frac{16 \sin^{2} (t)}{9}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$\int \sqrt{16 + 9 \cdot - 1 \frac{16 \sin^{2} (t)}{9}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \sqrt{16 - 1 (16 \sin^{2} (t))} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.6

Moltiplica $16$ per $- 1$ .

$\int \sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $16$ da $16$ .

$\int \sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $16$ da $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $16$ da $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \sqrt{16 \cos^{2} (t)} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $16 \cos^{2} (t)$ come ${(4 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int 4 \cos (t) \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

$\frac{4 \cos (t)}{3}$ e $4$ .

$\int \frac{4 \cos (t) \cdot 4}{3} \cos (t) d t$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\int \frac{16 \cos (t)}{3} \cos (t) d t$

Passaggio 2.2.3

$\frac{16 \cos (t)}{3}$ e $\cos (t)$ .

$\int \frac{16 \cos (t) \cos (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.4

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{16 (\cos^{1} (t) \cos (t))}{3} d t$

Passaggio 2.2.5

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{16 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{3} d t$

Passaggio 2.2.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{16 {\cos (t)}^{1 + 1}}{3} d t$

Passaggio 2.2.7

Somma $1$ e $1$ .

$\int \frac{16 \cos^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 3

Poiché $\frac{16}{3}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{16}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{16}{3} \int \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 4

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{16}{3} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{16}{3} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{16}{3}$ .

$\frac{16}{2 \cdot 3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{16}{6} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $16$ e $6$ .

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Passaggio 6.3.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$\frac{2 (8)}{6} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8}{3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{8}{3} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$\frac{8}{3} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Passaggio 9

Sia $u = 2 t$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 9.1

Sia $u = 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 9.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 9.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{8}{3} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 10

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{3} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{8}{3} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 12

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{8}{3} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Passaggio 13

Semplifica.

$\frac{8}{3} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{3 x}{4})$ .

$\frac{8}{3} (\arcsin (\frac{3 x}{4}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t$ .

$\frac{8}{3} (\arcsin (\frac{3 x}{4}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Passaggio 14.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{3 x}{4})$ .

$\frac{8}{3} (\arcsin (\frac{3 x}{4}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))) + C$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))$ .

$\frac{8}{3} (\arcsin (\frac{3 x}{4}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{2}) + C$

Passaggio 15.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8}{3} \arcsin (\frac{3 x}{4}) + \frac{8}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{2} + C$

Passaggio 15.3

$\frac{8}{3}$ e $\arcsin (\frac{3 x}{4})$ .

$\frac{8 \arcsin (\frac{3 x}{4})}{3} + \frac{8}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{2} + C$

Passaggio 15.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 15.4.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{8 \arcsin (\frac{3 x}{4})}{3} + \frac{2 (4)}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{2} + C$

Passaggio 15.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 \arcsin (\frac{3 x}{4})}{3} + \frac{2 \cdot 4}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{2} + C$

Passaggio 15.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8 \arcsin (\frac{3 x}{4})}{3} + \frac{4}{3} \sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4})) + C$

Passaggio 15.5

$\frac{4}{3}$ e $\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))$ .

$\frac{8 \arcsin (\frac{3 x}{4})}{3} + \frac{4 \sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{3} + C$

Passaggio 16

Riordina i termini.

$\frac{8}{3} \arcsin (\frac{3}{4} x) + \frac{4}{3} \sin (2 \arcsin (\frac{3}{4} x)) + C$