Calcolo Esempi

$\int \sqrt{1 + 4 x^{3}} (12 x^{2}) d x$

Passaggio 1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$12 \int \sqrt{1 + 4 x^{3}} (x^{2}) d x$

Passaggio 2

Sia $u = 1 + 4 x^{3}$ . Allora $d u = 12 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{12} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 1 + 4 x^{3}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $1 + 4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 4 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$0 + 4 (3 x^{2})$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$0 + 12 x^{2}$

Passaggio 2.1.4

Somma $0$ e $12 x^{2}$ .

$12 x^{2}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$12 \int \sqrt{u} \frac{1}{12} d u$

Passaggio 3

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{12}$ .

$12 \int \frac{\sqrt{u}}{12} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{12}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{12}$ fuori dall'integrale.

$12 (\frac{1}{12} \int \sqrt{u} d u)$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$\frac{1}{12}$ e $12$ .

$\frac{12}{12} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.2

Elimina il fattore comune di $12$ .

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Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12}{12} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $\int \sqrt{u} d u$ per $1$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + 4 x^{3}$ .

$\frac{2}{3} {(1 + 4 x^{3})}^{\frac{3}{2}} + C$