Calcolo Esempi

$\int \frac{\sin (x)}{\sqrt{\cos^{3} (x)}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- d u = \sin (x) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

Passaggio 2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u^{3}}$ come $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $u^{\frac{3}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Passaggio 4.3.2.1

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$- \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Passaggio 4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $- (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$ come $- (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$ .

$- (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 6.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$\frac{2}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Frazioni separate.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 8.2

Converti da $\frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$ a ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{1} {\sec (x)}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8.3

Dividi $2$ per $1$ .

$2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}} + C$