Calcolo Esempi

$\int \sin^{2} (π x) \cos^{5} (π x) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = π x$ . Allora $d u_{1} = π d x$ , quindi $\frac{1}{π} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = π x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $π$ per $1$ .

$π$

$π$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \cos^{5} (u_{1}) \frac{1}{π} d u_{1}$

$\int \sin^{2} (u_{1}) \cos^{5} (u_{1}) \frac{1}{π} d u_{1}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$\frac{1}{π}$ e $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{π} \cos^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 2.2

$\frac{\sin^{2} (u_{1})}{π}$ e $\cos^{5} (u_{1})$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1}) \cos^{5} (u_{1})}{π} d u_{1}$

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1}) \cos^{5} (u_{1})}{π} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{π}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{π}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) \cos^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 4

Metti in evidenza $\cos^{4} (u_{1})$ .

$\frac{1}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) (\cos^{4} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 5

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 5.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) ({\cos (u_{1})}^{2 (2)} \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 5.2

Riscrivi ${\cos (u_{1})}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

$\frac{1}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) ({(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1})) d u_{1}$

$\frac{1}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) ({(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 6

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\cos^{2} (u_{1})$ come $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) ({(1 - \sin^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 7

Sia $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Allora $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Passaggio 7.1.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

$\cos (u_{1})$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Passaggio 8

Espandi ${u_{2}}^{2} {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ come $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} ((1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Passaggio 8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Passaggio 8.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Passaggio 8.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Passaggio 8.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2})) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Passaggio 8.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (1 (- {u_{2}}^{2})) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Passaggio 8.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (1 (- {u_{2}}^{2})) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Passaggio 8.8

Sposta ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (1 (- {u_{2}}^{2})) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Passaggio 8.9

Sposta le parentesi.

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (1 \cdot - 1) {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Passaggio 8.10

Sposta ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Passaggio 8.11

Sposta ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2}) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Passaggio 8.12

Sposta le parentesi.

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- 1 \cdot 1) {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Passaggio 8.13

Sposta ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Passaggio 8.14

Sposta ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Passaggio 8.15

Sposta le parentesi.

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 8.16

Sposta le parentesi.

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- 1 \cdot - 1) {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 8.17

Sposta ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 8.18

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{π} \int 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 8.19

Moltiplica ${u_{2}}^{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 8.20

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 8.21

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - ({u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2}) - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 8.22

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2 + 2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 8.23

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 8.24

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 8.25

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - ({u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2}) - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 8.26

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 8.27

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 8.28

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 8.29

Moltiplica ${u_{2}}^{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 8.30

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{2 + 2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 8.31

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{4} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 8.32

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{4 + 2} d u_{2}$

Passaggio 8.33

Somma $4$ e $2$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{6} d u_{2}$

Passaggio 8.34

Sottrai ${u_{2}}^{4}$ da $- {u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - 2 {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{6} d u_{2}$

Passaggio 8.35

Riordina $- 2 {u_{2}}^{4}$ e ${u_{2}}^{6}$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{6} - 2 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Passaggio 8.36

Sposta ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{6} - 2 {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{6} - 2 {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{π} (\int {u_{2}}^{6} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{2}}^{6}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C + \int - 2 {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Passaggio 11

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{π} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C - 2 \int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Passaggio 12

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{2}}^{4}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C) + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Passaggio 13

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{2}}^{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C) + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

$\frac{1}{5}$ e ${u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Passaggio 14.1.2

$\frac{1}{7}$ e ${u_{2}}^{7}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{{u_{2}}^{7}}{7} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Passaggio 14.1.3

$\frac{1}{3}$ e ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{{u_{2}}^{7}}{7} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C) + \frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C)$

$\frac{1}{π} (\frac{{u_{2}}^{7}}{7} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C) + \frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C)$

Passaggio 14.2

Semplifica.

$\frac{1}{π} (\frac{{u_{2}}^{7}}{7} - \frac{2 {u_{2}}^{5}}{5} + \frac{{u_{2}}^{3}}{3}) + C$

$\frac{1}{π} (\frac{{u_{2}}^{7}}{7} - \frac{2 {u_{2}}^{5}}{5} + \frac{{u_{2}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{π} (\frac{\sin^{7} (u_{1})}{7} - \frac{2 \sin^{5} (u_{1})}{5} + \frac{\sin^{3} (u_{1})}{3}) + C$

Passaggio 15.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $π x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{\sin^{7} (π x)}{7} - \frac{2 \sin^{5} (π x)}{5} + \frac{\sin^{3} (π x)}{3}) + C$

$\frac{1}{π} (\frac{\sin^{7} (π x)}{7} - \frac{2 \sin^{5} (π x)}{5} + \frac{\sin^{3} (π x)}{3}) + C$

Passaggio 16

Riordina i termini.

$\frac{1}{π} (\frac{1}{7} \sin^{7} (π x) - \frac{2}{5} \sin^{5} (π x) + \frac{1}{3} \sin^{3} (π x)) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$