Calcolo Esempi

$\int r e^{\frac{r}{2}} d r$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = r$ e $d v = e^{\frac{r}{2}}$ .

$r (2 e^{\frac{1}{2} r}) - \int 2 e^{\frac{1}{2} r} d r$

Passaggio 2

Poiché $2$ è costante rispetto a $r$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$r (2 e^{\frac{1}{2} r}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} r} d r)$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{1}{2}$ e $r$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} r} d r)$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{2}$ e $r$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - (2 \int e^{\frac{r}{2}} d r)$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 2 \int e^{\frac{r}{2}} d r$

Passaggio 4

Sia $u = \frac{r}{2}$ . Allora $d u = \frac{1}{2} d r$ , quindi $2 d u = d r$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = \frac{r}{2}$ . Trova $\frac{d u}{d r}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $\frac{r}{2}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{r}{2}]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $\frac{r}{2}$ rispetto a $r$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d r} [r]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 2 \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 2 \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 2 \int e^{u} \cdot 2 d u$

Passaggio 5.3

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{u}$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 2 \int 2 e^{u} d u$

Passaggio 6

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 2 (2 \int e^{u} d u)$

Passaggio 7

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 4 \int e^{u} d u$

Passaggio 8

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$

Passaggio 9

Riscrivi $r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$ come $2 r e^{\frac{r}{2}} - 4 e^{u} + C$ .

$2 r e^{\frac{r}{2}} - 4 e^{u} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{r}{2}$ .

$2 r e^{\frac{r}{2}} - 4 e^{\frac{r}{2}} + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$2 r e^{\frac{1}{2} r} - 4 e^{\frac{1}{2} r} + C$