Calcolo Esempi

$\int \frac{3 e^{x}}{4 + e^{x}} d x$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \frac{e^{x}}{4 + e^{x}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 4 + e^{x}$ . Allora $d u = e^{x} d x$ , quindi $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 4 + e^{x}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $4 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + e^{x}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Passaggio 2.1.4

Somma $0$ e $e^{x}$ .

$e^{x}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 3

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$3 (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 4

Semplifica.

$3 \ln (| u |) + C$

Passaggio 5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 + e^{x}$ .

$3 \ln (| 4 + e^{x} |) + C$