Calcolo Esempi

$\int \frac{2 x - 4}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Passaggio 1

Scomponi $2$ da $2 x - 4$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\int \frac{2 (x) - 4}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Passaggio 1.2

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\int \frac{2 x + 2 \cdot - 2}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Passaggio 1.3

Scomponi $2$ da $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$\int \frac{2 (x - 2)}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Passaggio 2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{x - 2}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Passaggio 3

Sia $u = 3 x^{2} - 12 x + 1$ . Allora $d u = (6 x - 12) d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u = (x - 2) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = 3 x^{2} - 12 x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $3 x^{2} - 12 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 12 x + 1]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 12 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Passaggio 3.1.4.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.4.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$6 x - 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 3.1.5.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x - 12 + 0$

Passaggio 3.1.5.2

Somma $6 x - 12$ e $0$ .

$6 x - 12$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{6}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 6} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $6$ alla sinistra di $u$ .

$2 \int \frac{1}{6 u} d u$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

$\frac{1}{6}$ e $2$ .

$\frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

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Passaggio 6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 6.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 7

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{2} - 12 x + 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 x^{2} - 12 x + 1 |) + C$