Calcolo Esempi

$\int \frac{2 x + 2}{{(x^{2} + 2 x - 4)}^{4}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} + 2 x - 4$ . Allora $d u = (2 x + 2) d x$ , quindi $\frac{1}{2 x + 2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} + 2 x - 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} + 2 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 4]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $2 x + 2$ e $0$ .

$2 x + 2$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{4}} d u$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sposta $u^{4}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{4})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{4 \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\int u^{- 4} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 4}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$ come $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{3}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{u^{3} \cdot 3} + C$

Passaggio 4.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u^{3}$ .

$- \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Passaggio 5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 2 x - 4$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x - 4)}^{3}} + C$