Calcolo Esempi

$\int \frac{3 x + 2}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ è positivo.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Passaggio 2.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Passaggio 2.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $\cos (t)$ .

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\int 3 \sin (t) + 2 d t$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 3 \sin (t) d t + \int 2 d t$

Passaggio 4

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \sin (t) d t + \int 2 d t$

Passaggio 5

L'integrale di $\sin (t)$ rispetto a $t$ è $- \cos (t)$ .

$3 (- \cos (t) + C) + \int 2 d t$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$3 (- \cos (t) + C) + 2 t + C$

Passaggio 7

Semplifica.

$- 3 \cos (t) + 2 t + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (x)$ .

$- 3 \cos (\arcsin (x)) + 2 \arcsin (x) + C$