Calcolo Esempi

$\int \frac{12 x + 18}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Scomponi $6$ da $12 x + 18$ .

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $6$ da $12 x$ .

$\int \frac{6 (2 x) + 18}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $6$ da $18$ .

$\int \frac{6 (2 x) + 6 (3)}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $6$ da $6 (2 x) + 6 (3)$ .

$\int \frac{6 (2 x + 3)}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Passaggio 1.2

Scomponi $x^{2} + 3 x - 4$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $3$ .

$- 1, 4$

Passaggio 1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\int \frac{6 (2 x + 3)}{\sqrt{(x - 1) (x + 4)}} d x$

Passaggio 2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$6 \int \frac{2 x + 3}{\sqrt{(x - 1) (x + 4)}} d x$

Passaggio 3

Sia $u = (x - 1) (x + 4)$ . Allora $d u = (2 x + 3) d x$ , quindi $\frac{1}{2 x + 3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = (x - 1) (x + 4)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $(x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 4)]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x + 4$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia.

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Passaggio 3.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 3.1.3.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x - 1) (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 3.1.3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x - 1) \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 3.1.3.4.2

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$x - 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 3.1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x - 1 + (x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.1.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x - 1 + (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.1.3.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x - 1 + (x + 4) (1 + 0)$

Passaggio 3.1.3.8

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 3.1.3.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$x - 1 + (x + 4) \cdot 1$

Passaggio 3.1.3.8.2

Moltiplica $x + 4$ per $1$ .

$x - 1 + x + 4$

Passaggio 3.1.3.8.3

Somma $x$ e $x$ .

$2 x - 1 + 4$

Passaggio 3.1.3.8.4

Somma $- 1$ e $4$ .

$2 x + 3$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$6 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$6 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$6 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$6 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $6 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ come $6 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$6 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 6.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$12 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $(x - 1) (x + 4)$ .

$12 {((x - 1) (x + 4))}^{\frac{1}{2}} + C$