Calcolo Esempi

$\int \cos^{3} (2 x) \sin (2 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \cos (2 x)$ . Allora $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \cos (2 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{3} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int {u_{2}}^{3} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Passaggio 2.2

${u_{2}}^{3}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{{u_{2}}^{3}}{2} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{{u_{2}}^{3}}{2} d u_{2}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} d u_{2})$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{2}}^{3}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $- \frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ come $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 2} {u_{2}}^{4} + C$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$- \frac{1}{8} {u_{2}}^{4} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\cos (2 x)$ .

$- \frac{1}{8} \cos^{4} (2 x) + C$