Calcolo Esempi

$\int \frac{5 x + 3}{x^{3} - 2 x^{2} - 3 x} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3} - 2 x^{2} - 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{5 x + 3}{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 3 x}$

Passaggio 1.1.1.1.2

Scomponi $x$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{5 x + 3}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 3 x}$

Passaggio 1.1.1.1.3

Scomponi $x$ da $- 3 x$ .

$\frac{5 x + 3}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 3}$

Passaggio 1.1.1.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$\frac{5 x + 3}{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 3}$

Passaggio 1.1.1.1.5

Scomponi $x$ da $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 3$ .

$\frac{5 x + 3}{x (x^{2} - 2 x - 3)}$

Passaggio 1.1.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Scomponi $x^{2} - 2 x - 3$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 3, 1$

Passaggio 1.1.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{5 x + 3}{x ((x - 3) (x + 1))}$

Passaggio 1.1.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{5 x + 3}{x (x - 3) (x + 1)}$

Passaggio 1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3}$

Passaggio 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (x - 3) (x + 1)$ .

$\frac{(5 x + 3) (x (x - 3) (x + 1))}{x (x - 3) (x + 1)} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(5 x + 3) (x (x - 3) (x + 1))}{x (x - 3) (x + 1)} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(5 x + 3) ((x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.6

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(5 x + 3) ((x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(5 x + 3) (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.7

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(5 x + 3) (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.7.2

Dividi $5 x + 3$ per $1$ .

$5 x + 3 = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1.1

Elimina il fattore comune.

$5 x + 3 = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.8.1.2

Dividi $A ((x - 3) (x + 1))$ per $1$ .

$5 x + 3 = A ((x - 3) (x + 1)) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.8.2

Espandi $(x - 3) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 x + 3 = A (x (x + 1) - 3 (x + 1)) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.8.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 x + 3 = A (x \cdot x + x \cdot 1 - 3 (x + 1)) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.8.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 x + 3 = A (x \cdot x + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.8.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$5 x + 3 = A (x^{2} + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.8.3.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$5 x + 3 = A (x^{2} + x - 3 x - 3 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.8.3.1.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$5 x + 3 = A (x^{2} + x - 3 x - 3) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.8.3.2

Sottrai $3 x$ da $x$ .

$5 x + 3 = A (x^{2} - 2 x - 3) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.8.4

Applica la proprietà distributiva.

$5 x + 3 = A x^{2} + A (- 2 x) + A \cdot - 3 + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.8.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.5.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.8.5.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $A$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.8.6

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.6.1

Elimina il fattore comune.

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + \frac{B (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.8.6.2

Dividi $(B) (x (x + 1))$ per $1$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + (B) (x (x + 1)) + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.8.7

Applica la proprietà distributiva.

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B (x \cdot x + x \cdot 1) + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.8.8

Moltiplica $x$ per $x$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B (x^{2} + x \cdot 1) + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.8.9

Moltiplica $x$ per $1$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B (x^{2} + x) + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.8.10

Applica la proprietà distributiva.

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.8.11

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.11.1

Elimina il fattore comune.

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + \frac{C (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.1.8.11.2

Dividi $(C) (x (x - 3))$ per $1$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + (C) (x (x - 3))$

Passaggio 1.1.8.12

Applica la proprietà distributiva.

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 3)$

Passaggio 1.1.8.13

Moltiplica $x$ per $x$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + C (x^{2} + x \cdot - 3)$

Passaggio 1.1.8.14

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + C (x^{2} - 3 \cdot x)$

Passaggio 1.1.8.15

Applica la proprietà distributiva.

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + C x^{2} + C (- 3 x)$

Passaggio 1.1.8.16

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 3 C x$

Passaggio 1.1.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.1

Sposta $A$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 x A - 3 A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 3 C x$

Passaggio 1.1.9.2

Riordina $B$ e $x^{2}$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 x A - 3 A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 3 C x$

Passaggio 1.1.9.3

Riordina $B$ e $x$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 x A - 3 A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 3 C x$

Passaggio 1.1.9.4

Sposta $- 3 A$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 x A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 3 C x - 3 A$

Passaggio 1.1.9.5

Sposta $B x$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 x A + B x^{2} + C x^{2} + B x - 3 C x - 3 A$

Passaggio 1.1.9.6

Sposta $- 2 x A$ .

$5 x + 3 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - 2 x A + B x - 3 C x - 3 A$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B + C$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$5 = - 2 A + B - 3 C$

Passaggio 1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$3 = - 3 A$

Passaggio 1.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

$3 = - 3 A$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

$3 = - 3 A$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $3 = - 3 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 A = 3$ .

$- 3 A = 3$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

Passaggio 1.3.1.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 A = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 A = 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

Passaggio 1.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

Passaggio 1.3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

$A = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

$A = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

Passaggio 1.3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.3.1

Dividi $3$ per $- 3$ .

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- 1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + B + C$ con $- 1$ .

$0 = (- 1) + B + C$

$A = - 1$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $5 = - 2 A + B - 3 C$ con $- 1$ .

$5 = - 2 \cdot - 1 + B - 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.4.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$5 = 2 + B - 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$5 = 2 + B - 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$5 = 2 + B - 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $B$ in $5 = 2 + B - 3 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $2 + B - 3 C = 5$ .

$2 + B - 3 C = 5$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B - 3 C = 5 - 2$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.3.2.2

Somma $3 C$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = 5 - 2 + 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.3.2.3

Sottrai $2$ da $5$ .

$B = 3 + 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$B = 3 + 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$B = 3 + 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $3 + 3 C$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $0 = - 1 + B + C$ con $3 + 3 C$ .

$0 = - 1 + 3 + 3 C + C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica $0 = - 1 + 3 + 3 C + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = - 1 + 3 + 3 C + C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$0 = - 1 + 3 + 3 C + C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.2.1

Semplifica $- 1 + 3 + 3 C + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.2.1.1

Somma $- 1$ e $3$ .

$0 = 2 + 3 C + C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.4.2.2.1.2

Somma $3 C$ e $C$ .

$0 = 2 + 4 C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$0 = 2 + 4 C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$0 = 2 + 4 C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$0 = 2 + 4 C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$0 = 2 + 4 C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.5

Risolvi per $C$ in $0 = 2 + 4 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $2 + 4 C = 0$ .

$2 + 4 C = 0$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 C = - 2$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.5.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 C = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 C = - 2$ .

$\frac{4 C}{4} = \frac{- 2}{4}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 C}{4} = \frac{- 2}{4}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.5.3.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{- 2}{4}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$C = \frac{- 2}{4}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$C = \frac{- 2}{4}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$C = \frac{2 (- 1)}{4}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.5.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$C = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.5.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$C = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.5.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$C = \frac{- 1}{2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$C = \frac{- 1}{2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$C = \frac{- 1}{2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.5.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$C = - \frac{1}{2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$C = - \frac{1}{2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$C = - \frac{1}{2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$C = - \frac{1}{2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $- \frac{1}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $B = 3 + 3 C$ con $- \frac{1}{2}$ .

$B = 3 + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1

Semplifica $3 + 3 (- \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1.1.1

Moltiplica $3 (- \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$B = 3 - 3 (\frac{1}{2})$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.6.2.1.1.1.2

$- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$B = 3 + \frac{- 3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = 3 + \frac{- 3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.6.2.1.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$B = 3 - \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = 3 - \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.6.2.1.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$B = 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.6.2.1.3

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$B = \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.6.2.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$B = \frac{3 \cdot 2 - 3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.6.2.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1.5.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$B = \frac{6 - 3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.6.2.1.5.2

Sottrai $3$ da $6$ .

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$B = \frac{3}{2}, C = - \frac{1}{2}, A = - 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x + 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{\frac{3}{2}}{x - 3} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 1}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{x} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x - 3} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 1}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{1}{x - 3}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{3}{2 (x - 3)} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 1}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{x} + \frac{3}{2 (x - 3)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{3}{2 (x - 3)} - \frac{1}{(x + 1) \cdot 2}$

Passaggio 1.5.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x + 1$ .

$\int - \frac{1}{x} + \frac{3}{2 (x - 3)} - \frac{1}{2 (x + 1)} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x$

Passaggio 5

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x - 3} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x$

Passaggio 6

Sia $u_{1} = x - 3$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u_{1} = x - 3$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Passaggio 6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 6.1.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x$

Passaggio 7

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 10

Sia $u_{2} = x + 1$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u_{2} = x + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 10.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 10.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 10.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 11

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

$- \ln (| x |) + \frac{3}{2} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 13

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 3$ .

$- \ln (| x |) + \frac{3}{2} \ln (| x - 3 |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 13.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 1$ .

$- \ln (| x |) + \frac{3}{2} \ln (| x - 3 |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + C$