Calcolo Esempi

$\int \frac{5 x + 1}{(2 x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{2 x + 1}$

Passaggio 1.1.2

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(2 x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(5 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.4

Elimina il fattore comune di $2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(5 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(5 x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(5 x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.5.2

Dividi $5 x + 1$ per $1$ .

$5 x + 1 = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune di $2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$5 x + 1 = \frac{A (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.6.1.2

Dividi $(A) (x - 1)$ per $1$ .

$5 x + 1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 x + 1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.6.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $A$ .

$5 x + 1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.6.4

Riscrivi $- 1 A$ come $- A$ .

$5 x + 1 = A x - A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.6.5

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.5.1

Elimina il fattore comune.

$5 x + 1 = A x - A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.1.6.5.2

Dividi $(B) (2 x + 1)$ per $1$ .

$5 x + 1 = A x - A + (B) (2 x + 1)$

Passaggio 1.1.6.6

Applica la proprietà distributiva.

$5 x + 1 = A x - A + B (2 x) + B \cdot 1$

Passaggio 1.1.6.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 x + 1 = A x - A + 2 B x + B \cdot 1$

Passaggio 1.1.6.8

Moltiplica $B$ per $1$ .

$5 x + 1 = A x - A + 2 B x + B$

Passaggio 1.1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Sposta $B$ .

$5 x + 1 = A x - A + 2 x B + B$

Passaggio 1.1.7.2

Sposta $- A$ .

$5 x + 1 = A x + 2 x B - A + B$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$5 = A + 2 B$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$5 = A + 2 B$

$1 = - 1 A + B$

$5 = A + 2 B$

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $5 = A + 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + 2 B = 5$ .

$A + 2 B = 5$

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 1.3.1.2

Sottrai $2 B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 1 A + B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $5 - 2 B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = - 1 A + B$ con $5 - 2 B$ .

$1 = - 1 (5 - 2 B) + B$

$A = 5 - 2 B$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Semplifica $- 1 (5 - 2 B) + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 = - 1 \cdot 5 - 1 (- 2 B) + B$

$A = 5 - 2 B$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$1 = - 5 - 1 (- 2 B) + B$

$A = 5 - 2 B$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$1 = - 5 + 2 B + B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 2 B + B$

$A = 5 - 2 B$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Somma $2 B$ e $B$ .

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $B$ in $1 = - 5 + 3 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 5 + 3 B = 1$ .

$- 5 + 3 B = 1$

$A = 5 - 2 B$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 B = 1 + 5$

$A = 5 - 2 B$

Passaggio 1.3.3.2.2

Somma $1$ e $5$ .

$3 B = 6$

$A = 5 - 2 B$

$3 B = 6$

$A = 5 - 2 B$

Passaggio 1.3.3.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 B = 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 B = 6$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

Passaggio 1.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 B}{3} = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

Passaggio 1.3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

$B = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

$B = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

Passaggio 1.3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.3.1

Dividi $6$ per $3$ .

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $2$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 5 - 2 B$ con $2$ .

$A = 5 - 2 \cdot 2$

$B = 2$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Semplifica $5 - 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$A = 5 - 4$

$B = 2$

Passaggio 1.3.4.2.1.2

Sottrai $4$ da $5$ .

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

Passaggio 1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 1, B = 2$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{1}{2 x + 1} + \frac{2}{x - 1}$

Passaggio 1.5

Rimuovi lo zero dall'espressione.

$\int \frac{1}{2 x + 1} + \frac{2}{x - 1} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{2 x + 1} d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Passaggio 3

Sia $u_{1} = 2 x + 1$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u_{1} = 2 x + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 3.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{1}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Passaggio 4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Passaggio 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 8

Sia $u_{2} = x - 1$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u_{2} = x - 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 8.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 11

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 11.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + 2 \ln (| x - 1 |) + C$