Calcolo Esempi

$\int \frac{4 x^{3} - 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int \frac{4 x^{3}}{x} + \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{4 x^{3}}{x} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x$ da $4 x^{3}$ .

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x^{1}} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 3.1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 3.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 3.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{4 x^{2}}{1} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 3.1.2.5

Dividi $4 x^{2}$ per $1$ .

$\int 4 x^{2} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int 4 x^{2} d x + \int - \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int x^{2} d x + \int - \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 7

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (5 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x)$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (5 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x)$

Passaggio 8.1.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 8.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Passaggio 8.3

Semplifica.

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Passaggio 8.3.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 8.3.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 8.3.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 8.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Passaggio 8.3.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 8.4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 8.4.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 8.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 8.4.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 8.4.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 8.4.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

$\frac{4 x^{3}}{3} - 5 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 10.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 10.2.1

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$\frac{4 x^{3}}{3} - 10 x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 10.2.2

Riordina i termini.

$\frac{4}{3} x^{3} - 10 x^{\frac{1}{2}} + C$