Calcolo Esempi

$\int \frac{4 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{4 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (4 + 5 x^{\frac{3}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (4 + 5 x^{\frac{3}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int (4 + 5 x^{\frac{3}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int (4 + 5 x^{\frac{3}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{3 - 1}{2}} d x$

Passaggio 4.4

Sottrai $1$ da $3$ .

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{2}{2}} d x$

Passaggio 4.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.5.1

Elimina il fattore comune.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{2}{2}} d x$

Passaggio 4.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{1} d x$

Passaggio 4.6

Semplifica.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x d x$

Passaggio 4.7

Riordina $4 x^{- \frac{1}{2}}$ e $5 x$ .

$\int 5 x + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 5 x d x + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int x d x + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 8

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

$5 (\frac{1}{2}) x^{2} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

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Passaggio 10.2.1

$5$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{2} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{5}{2} x^{2} + 8 x^{\frac{1}{2}} + C$