Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = 4 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 4 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \cos (t)$ è positivo.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $4 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - (4^{2} \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - (16 \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.3

Moltiplica $16$ per $- 1$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $16$ da $16$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $16$ da $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $16$ da $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 \cos^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $16 \cos^{2} (t)$ come ${(4 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $4 \cos (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\int {(4 \sin (t))}^{3} d t$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $4$ da $4 \sin (t)$ .

$\int {(4 (\sin (t)))}^{3} d t$

Passaggio 2.2.2.2

Applica la regola del prodotto a $4 (\sin (t))$ .

$\int 4^{3} \sin^{3} (t) d t$

Passaggio 2.2.2.3

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$\int 64 \sin^{3} (t) d t$

Passaggio 3

Poiché $64$ è costante rispetto a $t$ , sposta $64$ fuori dall'integrale.

$64 \int \sin^{3} (t) d t$

Passaggio 4

Metti in evidenza $\sin^{2} (t)$ .

$64 \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Passaggio 5

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\sin^{2} (t)$ come $1 - \cos^{2} (t)$ .

$64 \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Passaggio 6

Sia $u = \cos (t)$ . Allora $d u = - \sin (t) d t$ , quindi $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u = \cos (t)$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Passaggio 6.1.2

La derivata di $\cos (t)$ rispetto a $t$ è $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$64 \int - 1 + u^{2} d u$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$64 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$64 (- u + C + \int u^{2} d u)$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$64 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$64 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Passaggio 10.2

Semplifica.

$64 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Passaggio 11

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (t)$ .

$64 (- \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t)) + C$

Passaggio 11.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$64 (- \cos (\arcsin (\frac{x}{4})) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}, \frac{x}{4})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}, 0)$ e l'origine. Poi $\arcsin (\frac{x}{4})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}, \frac{x}{4})$ . Perciò, $\cos (\arcsin (\frac{x}{4}))$ è $\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}$ .

$64 (- \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Passaggio 12.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$64 (- \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Passaggio 12.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \frac{x}{4}$ .

$64 (- \sqrt{(1 + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Passaggio 12.1.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$64 (- \sqrt{(\frac{4}{4} + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Passaggio 12.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$64 (- \sqrt{\frac{4 + x}{4} (1 - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Passaggio 12.1.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$64 (- \sqrt{\frac{4 + x}{4} (\frac{4}{4} - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Passaggio 12.1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$64 (- \sqrt{\frac{4 + x}{4} \cdot \frac{4 - x}{4}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Passaggio 12.1.8

Moltiplica $\frac{4 + x}{4}$ per $\frac{4 - x}{4}$ .

$64 (- \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4 \cdot 4}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Passaggio 12.1.9

Moltiplica $4$ per $4$ .

$64 (- \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Passaggio 12.1.10

Riscrivi $\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}$ come ${(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.10.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(4 + x) (4 - x)$ .

$64 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{16}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Passaggio 12.1.10.2

Scomponi la potenza perfetta $4^{2}$ su $16$ .

$64 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Passaggio 12.1.10.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}$ .

$64 (- \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Passaggio 12.1.11

Estrai i termini dal radicale.

$64 (- (\frac{1}{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Passaggio 12.1.12

$\frac{1}{4}$ e $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$64 (- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Passaggio 12.2

$\frac{1}{3}$ e $\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))$ .

$64 (- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3}) + C$

Passaggio 12.3

Applica la proprietà distributiva.

$64 (- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}) + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Passaggio 12.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}$ nel numeratore.

$64 \frac{- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Passaggio 12.4.2

Scomponi $4$ da $64$ .

$4 (16) \frac{- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Passaggio 12.4.3

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot 16 \frac{- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Passaggio 12.4.4

Riscrivi l'espressione.

$16 (- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}) + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Passaggio 12.5

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Passaggio 12.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.6.1

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}^{3}}{3} + C$

Passaggio 12.6.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}}^{3}}{3} + C$

Passaggio 12.6.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \frac{x}{4}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{(1 + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

Passaggio 12.6.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{(\frac{4}{4} + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

Passaggio 12.6.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{4 + x}{4} (1 - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

Passaggio 12.6.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{4 + x}{4} (\frac{4}{4} - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

Passaggio 12.6.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{4 + x}{4} \cdot \frac{4 - x}{4}}}^{3}}{3} + C$

Passaggio 12.6.8

Moltiplica $\frac{4 + x}{4}$ per $\frac{4 - x}{4}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4 \cdot 4}}}^{3}}{3} + C$

Passaggio 12.6.9

Moltiplica $4$ per $4$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}}}^{3}}{3} + C$

Passaggio 12.6.10

Riscrivi $\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}$ come ${(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.6.10.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(4 + x) (4 - x)$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{16}}}^{3}}{3} + C$

Passaggio 12.6.10.2

Scomponi la potenza perfetta $4^{2}$ su $16$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}}}^{3}}{3} + C$

Passaggio 12.6.10.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}}^{3}}{3} + C$

Passaggio 12.6.11

Estrai i termini dal radicale.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{(\frac{1}{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)})}^{3}}{3} + C$

Passaggio 12.6.12

$\frac{1}{4}$ e $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{(\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4})}^{3}}{3} + C$

Passaggio 12.6.13

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{3}}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.6.14.1

Riscrivi ${\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{3}$ come $\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{3}}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{3}}}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.14.2

Applica la regola del prodotto a $(4 + x) (4 - x)$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{3} {(4 - x)}^{3}}}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.14.3

Riscrivi ${(4 + x)}^{3} {(4 - x)}^{3}$ come ${((4 + x) (4 - x))}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.6.14.3.1

Metti in evidenza ${(4 + x)}^{2}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{2} (4 + x) {(4 - x)}^{3}}}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.14.3.2

Metti in evidenza ${(4 - x)}^{2}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{2} (4 + x) ({(4 - x)}^{2} (4 - x))}}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.14.3.3

Sposta $4 + x$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{2} {(4 - x)}^{2} (4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.14.3.4

Riscrivi ${(4 + x)}^{2} {(4 - x)}^{2}$ come ${((4 + x) (4 - x))}^{2}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{2} (4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.14.3.5

Aggiungi le parentesi.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{2} ((4 + x) (4 - x))}}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.14.4

Estrai i termini dal radicale.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 + x) (4 - x) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.14.5

Espandi $(4 + x) (4 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.6.14.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 (4 - x) + x (4 - x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.14.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.14.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.14.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.6.14.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.6.14.6.1.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.14.6.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.14.6.1.3

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.14.6.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 x - x \cdot x) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.14.6.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.6.14.6.1.5.1

Sposta $x$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.14.6.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 x - x^{2}) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.14.6.2

Somma $- 4 x$ e $4 x$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 + 0 - x^{2}) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.14.6.3

Somma $16$ e $0$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - x^{2}) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.14.7

Applica la proprietà distributiva.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} - x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.14.8

Scomponi $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ da $16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} - x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.6.14.8.1

Scomponi $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ da $16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 16 - x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.14.8.2

Scomponi $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ da $- x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 16 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- x^{2})}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.14.8.3

Scomponi $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ da $\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 16 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- x^{2})$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (16 - x^{2})}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.14.9

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4^{2} - x^{2})}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.14.10

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 4$ e $b = x$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{4^{3}}}{3} + C$

Passaggio 12.6.15

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64}}{3} + C$

Passaggio 12.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.7.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 (\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64} \cdot \frac{1}{3}) + C$

Passaggio 12.7.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.7.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64}$ per $\frac{1}{3}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64 \cdot 3} + C$

Passaggio 12.7.2.2

Moltiplica $64$ per $3$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{192} + C$

Passaggio 12.7.3

Elimina il fattore comune di $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.7.3.1

Scomponi $64$ da $192$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64 (3)} + C$

Passaggio 12.7.3.2

Elimina il fattore comune.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64 \cdot 3} + C$

Passaggio 12.7.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

Passaggio 12.8

Per scrivere $- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

Passaggio 12.9

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

Passaggio 12.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

Passaggio 12.11

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.11.1

Scomponi $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ da $- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)$ .

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Passaggio 12.11.1.1

Scomponi $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ da $- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3) + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

Passaggio 12.11.1.2

Scomponi $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ da $\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3) + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} ((4 + x) (4 - x))}{3} + C$

Passaggio 12.11.1.3

Scomponi $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ da $\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3) + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} ((4 + x) (4 - x))$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3 + (4 + x) (4 - x))}{3} + C$

Passaggio 12.11.2

Moltiplica $- 16$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + (4 + x) (4 - x))}{3} + C$

Passaggio 12.11.3

Espandi $(4 + x) (4 - x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 12.11.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 4 (4 - x) + x (4 - x))}{3} + C$

Passaggio 12.11.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x))}{3} + C$

Passaggio 12.11.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x))}{3} + C$

Passaggio 12.11.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 12.11.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.11.4.1.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x))}{3} + C$

Passaggio 12.11.4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x))}{3} + C$

Passaggio 12.11.4.1.3

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x))}{3} + C$

Passaggio 12.11.4.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 x - x \cdot x)}{3} + C$

Passaggio 12.11.4.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.11.4.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x))}{3} + C$

Passaggio 12.11.4.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 x - x^{2})}{3} + C$

Passaggio 12.11.4.2

Somma $- 4 x$ e $4 x$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 + 0 - x^{2})}{3} + C$

Passaggio 12.11.4.3

Somma $16$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - x^{2})}{3} + C$

Passaggio 12.11.5

Somma $- 48$ e $16$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 32 - x^{2})}{3} + C$

Passaggio 12.12

Riscrivi $- 32$ come $- 1 (32)$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 1 (32) - x^{2})}{3} + C$

Passaggio 12.13

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 1 (32) - (x^{2}))}{3} + C$

Passaggio 12.14

Scomponi $- 1$ da $- 1 (32) - (x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 1 (32 + x^{2}))}{3} + C$

Passaggio 12.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (32 + x^{2})}{3} + C$