Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} - 1} d x$

Passaggio 1

Dividi $x^{3}$ per $x^{2} - 1$ .

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Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 0 - x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Passaggio 1.6

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$0$

Passaggio 1.7

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int x + \frac{x}{x^{2} - 1} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x d x + \int \frac{x}{x^{2} - 1} d x$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{x}{x^{2} - 1} d x$

Passaggio 4

Sia $u = x^{2} - 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = x^{2} - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 7

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) + C$