Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{{(25 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Passaggio 1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - x^{2})}^{3}}} d x$

Passaggio 2

Sia $x = 5 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 5 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \cos (t)$ è positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - {(5 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.1

Semplifica $\sqrt{{(25 - {(5 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

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Passaggio 3.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $5 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - (5^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - (25 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.1.3

Moltiplica $25$ per $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - 25 \sin^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $25$ da $25$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 (1) - 25 \sin^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $25$ da $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.4

Scomponi $25$ da $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 \cos^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.6

Applica la regola del prodotto a $25 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{25^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.7

Eleva $25$ alla potenza di $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{15625 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.8

Moltiplica gli esponenti in ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

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Passaggio 3.1.8.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{15625 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (5 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.8.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{15625 \cos^{6} (t)}} (5 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.9

Riscrivi $15625 \cos^{6} (t)$ come ${(125 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(125 \cos^{3} (t))}^{2}}} (5 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.10

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{1}{125 \cos^{3} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $5 \cos (t)$ .

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $5 \cos (t)$ da $125 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{5 \cos (t) (25 \cos^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{5 \cos (t) (25 \cos^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{25 \cos^{2} (t)} d t$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{25}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{25}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{25} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Passaggio 5

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ a $\sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{25} \int \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 6

Poiché la derivata di $\tan (t)$ è $\sec^{2} (t)$ , l'integrale di $\sec^{2} (t)$ è $\tan (t)$ .

$\frac{1}{25} (\tan (t) + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

$\frac{1}{25} \tan (t) + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{x}{5})$ .

$\frac{1}{25} \tan (\arcsin (\frac{x}{5})) + C$

Passaggio 9

Riordina i termini.

$\frac{1}{25} \tan (\arcsin (\frac{1}{5} x)) + C$