Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{2}}{{(16 - x^{3})}^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 16 - x^{3}$ . Allora $d u = - 3 x^{2} d x$ , quindi $- \frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 16 - x^{3}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $16 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [16 - x^{3}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$0 - (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$0 - 3 x^{2}$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $3 x^{2}$ da $0$ .

$- 3 x^{2}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{3}) d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{1}{u^{2}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

Passaggio 2.3

Sposta $3$ alla sinistra di $u^{2}$ .

$\int - \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{- 2} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{3} (- u^{- 1} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $- \frac{1}{3} (- u^{- 1} + C)$ come $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C$ .

$- \frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{u} + C$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u} + C$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{3 u} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $16 - x^{3}$ .

$\frac{1}{3 (16 - x^{3})} + C$