Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{2}}{e^{x^{3}}} d x$

Passaggio 1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1

Nega l'esponente di $e^{x^{3}}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int x^{2} {(e^{x^{3}})}^{- 1} d x$

Passaggio 1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x^{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{2} e^{x^{3} \cdot - 1} d x$

Passaggio 1.2.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$\int x^{2} e^{- 1 \cdot x^{3}} d x$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi $- 1 x^{3}$ come $- x^{3}$ .

$\int x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Allora $d u_{2} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$ , quindi $- \frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{- x^{3}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $e^{- x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{3}}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{3}$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x^{3}$ .

$e^{- x^{3}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia.

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- x^{3}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$e^{- x^{3}} (- (3 x^{2}))$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

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Passaggio 2.1.4.1

Riordina i fattori di $e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$ .

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$

Passaggio 2.1.4.2

Riordina i fattori in $- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$ .

$- 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Passaggio 3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{1}{3} d u_{2}$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{3} u_{2} + C$

Passaggio 5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{- x^{3}}$ .

$- \frac{1}{3} e^{- x^{3}} + C$