Calcolo Esempi

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 25}}{x} d x$

Passaggio 1

Sia $x = 5 \sec (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ è positivo.

$\int \frac{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $5 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $25$ da $25 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $25$ da $- 25$ .

$\int \frac{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $25$ da $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $25 \tan^{2} (t)$ come ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{5 \tan (t)}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $5 \sec (t)$ .

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $5 \sec (t)$ da $5 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{5 \tan (t)}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) (\tan (t))) d t$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{5 \tan (t)}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int 5 \tan (t) \tan (t) d t$

Passaggio 3

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int 5 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 4

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int 5 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Passaggio 5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 5 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 6

Somma $1$ e $1$ .

$\int 5 \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 7

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 8

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (t)$ come $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$5 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$5 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$5 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

Passaggio 11

Poiché la derivata di $\tan (t)$ è $\sec^{2} (t)$ , l'integrale di $\sec^{2} (t)$ è $\tan (t)$ .

$5 (- t + C + \tan (t) + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

$5 (- t + \tan (t)) + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \tan (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 14.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $arcsec (\frac{x}{5})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ . Perciò, $\tan (arcsec (\frac{x}{5}))$ è $\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1}) + C$

Passaggio 14.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}}) + C$

Passaggio 14.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \frac{x}{5}$ e $b = 1$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{(\frac{x}{5} + 1) (\frac{x}{5} - 1)}) + C$

Passaggio 14.1.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{(\frac{x}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x}{5} - 1)}) + C$

Passaggio 14.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1)}) + C$

Passaggio 14.1.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}) + C$

Passaggio 14.1.7

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}) + C$

Passaggio 14.1.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 1 \cdot 5}{5}}) + C$

Passaggio 14.1.9

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 5}{5}}) + C$

Passaggio 14.1.10

Moltiplica $\frac{x + 5}{5}$ per $\frac{x - 5}{5}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{5 \cdot 5}}) + C$

Passaggio 14.1.11

Moltiplica $5$ per $5$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}}) + C$

Passaggio 14.1.12

Riscrivi $\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}$ come ${(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ .

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Passaggio 14.1.12.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(x + 5) (x - 5)$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{25}}) + C$

Passaggio 14.1.12.2

Scomponi la potenza perfetta $5^{2}$ su $25$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}}) + C$

Passaggio 14.1.12.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))}) + C$

Passaggio 14.1.13

Estrai i termini dal radicale.

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \frac{1}{5} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + C$

Passaggio 14.1.14

$\frac{1}{5}$ e $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}) + C$

Passaggio 14.2

Per scrivere $- arcsec (\frac{x}{5})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) \cdot \frac{5}{5} + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}) + C$

Passaggio 14.3

$- arcsec (\frac{x}{5})$ e $\frac{5}{5}$ .

$5 (\frac{- arcsec (\frac{x}{5}) \cdot 5}{5} + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}) + C$

Passaggio 14.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 \frac{- arcsec (\frac{x}{5}) \cdot 5 + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + C$

Passaggio 14.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 14.5.1

Elimina il fattore comune.

$5 \frac{- arcsec (\frac{x}{5}) \cdot 5 + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + C$

Passaggio 14.5.2

Riscrivi l'espressione.

$- arcsec (\frac{x}{5}) \cdot 5 + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + C$

Passaggio 14.6

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 5 arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + C$

Passaggio 15

Riordina i termini.

$- 5 arcsec (\frac{1}{5} x) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + C$