Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ è positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $4$ da $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $4$ da $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Passaggio 2.1.4

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Passaggio 2.1.5

Riscrivi $4 \cos^{2} (t)$ come ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Passaggio 2.1.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{1}{2 \cos (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $\cos (t)$ .

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $\cos (t)$ da $2 \cos (t)$ .

$\int \frac{1}{\cos (t) \cdot 2} \cos (t) d t$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{\cos (t) \cdot 2} \cos (t) d t$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{2} d t$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} t + C$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + C$