Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{\sec^{2} (x)} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)} d x$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$ come ${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\sec (x)})}^{2} d x$

Passaggio 1.3

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}})}^{2} d x$

Passaggio 1.4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\int {(1 \cos (x))}^{2} d x$

Passaggio 1.5

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\int \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 2

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (x)$ come $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Passaggio 5

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Passaggio 6

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 7

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 9

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Passaggio 10

Semplifica.

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Passaggio 12.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Passaggio 12.3

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Passaggio 12.4

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

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Passaggio 12.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 12.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Passaggio 13

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$