Calcolo Esempi

$f (x) = 5 \sqrt{x^{5}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\frac{d}{d x} [5 \sqrt{x^{5}}]$ come $\frac{d}{d x} [5 (x^{2} \sqrt{x})]$ .

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $x^{5}$ come ${(x^{2})}^{2} x$ .

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Passaggio 1.1.1.1

Metti in evidenza $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \sqrt{x^{4} x})$

Passaggio 1.1.1.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \sqrt{{(x^{2})}^{2} x})$

Passaggio 1.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 (x^{2} \sqrt{x}))$

Passaggio 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{2 + \frac{1}{2}})$

Passaggio 1.3.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})$

Passaggio 1.3.3

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})$

Passaggio 1.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})$

Passaggio 1.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{4 + 1}{2}})$

Passaggio 1.3.5.2

Somma $4$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 1.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{\frac{5}{2}}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Passaggio 1.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Passaggio 1.9.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 1.10

$\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

Passaggio 1.11

$5$ e $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Passaggio 1.12

Moltiplica $5$ per $5$ .

$f' (x) = \frac{25 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $\frac{25}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{25 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{25}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.7

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.8

Moltiplica $\frac{25}{2}$ per $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.9

Moltiplica.

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Passaggio 2.9.1

Moltiplica $3$ per $25$ .

$f'' (x) = \frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.9.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Poiché $\frac{75}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{75}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 3.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 3.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 3.9

Moltiplica $\frac{75}{4}$ per $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75 x^{- \frac{1}{2}}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 3.10

Moltiplica.

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Passaggio 3.10.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f''' (x) = \frac{75 x^{- \frac{1}{2}}}{8}$

Passaggio 3.10.2

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{8 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

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Passaggio 4.1

Poiché $\frac{75}{8}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{75}{8 x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{75}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 4.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ come ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

Passaggio 4.2.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 4.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 4.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 4.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 4.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Passaggio 4.7.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Passaggio 4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Passaggio 4.9

$x^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Passaggio 4.10

Moltiplica $\frac{75}{8}$ per $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{75 x^{- \frac{3}{2}}}{8 \cdot 2}$

Passaggio 4.11

Moltiplica.

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Passaggio 4.11.1

Moltiplica $8$ per $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{75 x^{- \frac{3}{2}}}{16}$

Passaggio 4.11.2

Sposta $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$